WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 |

«ЛЕКЦИЯ 22 Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Эффект Доплера. Момент импульса. Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии. Комптон эффект. ...»

-- [ Страница 1 ] --

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика СТО Лекция 22

ЛЕКЦИЯ 22

Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Эффект Доплера. Момент импульса. Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии. Комптон эффект. Антипротонный порог.

Связь энергии и импульса в релятивистской механике

В предыдущей лекции мы вычислили квадрат 4-импульса, который является релятивистски инвариантной величиной (т. е. 4-скаляром) E2 i m2 c2, p2 = m2 c2.

p pi = или (1) 0 0 2 c Отсюда можно получить связь энергии и импульса частицы в релятивистской механике m2 c4 + p2 c2 = c m2 c2 + p2.

E= (2) 0 При малых скоростях, p m0 c p2 E m0 c +, (3) 2m т. е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение для кинетической энергии частицы p2 /2m0.

Из выражения для 4-импульса E m0 c m0 v i p=, p =, (4) c v v 1 c2 c получаем связь между энергией, импульсом и скоростью частицы:

Ev p=. (5) c Дифференцируя по p выражение (2) и принимая во внимание последнее соотношение, получим c2 p E cp = = = v. (6) p E m2 c2 + p Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика СТО Лекция Таким образом, в релятивистской механике, так же как и в классической, скорость частицы определяется производной от энергии по импульсу.

При v = c импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность.

Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя m0 = 0 не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой покоя, равной нулю, движущиеся со скоростью света. 1 Для таких частиц получаем из (5) E p=. (7) c Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой покоя в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы E велика по сравнению с ее энергией покоя m0 c2.

Эффект Доплера Эффект Доплера заключается в изменении частоты света при движении источника относительно наблюдателя. Частота света связана с энергией фотона согласно формуле E =, (8) где постоянная Планка. Поэтому выяснить, как меняется частота света при движении источника можно, воспользовавшись формулами преобразования Лоренца для энергии и импульса частицы.

Итак, пусть имеются две инерциальные системы отсчета K и K, причем K движется относительно лабораторной системы K со скоростью V в направлении оси x. Пусть в системе K имеется неподвижный отноK' V K p x Рис. 1: Две системы отсчета и фотон.

Таковы световые кванты фотоны и, возможно, нейтрино.

сительно нее источник. И пусть излучение этого источника распространяется под углом к координатной оси x системы K. Тогда из преобразований Лоренца имеем связь Но поскольку для фотона p = E/c, то Пусть частота света в системе K, где покоится источник, равна = 0.

Тогда частота света в лабораторной системе K будет равна :

При V /c 1 и угле, не слишком близкому к /2, получаем из (11) т. е. при приближении источника к наблюдателю (cos 0) частота 0, а при удалении источника от наблюдателя (cos 0) частота 0. Если же источник света движется по окружности по отношению к наблюдателю, то = /2 и т. е. 0 в соответствии с известной формулой для замедления хода времени в движущейся системе отсчета (нам кажется, что часы в системе K “тикают” медленнее).

Формулу для эффекта Доплера можно вывести и по-другому, не прибегая к квантовой механике. Для этого заметим, что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси x, записывается в виде где частота, а = 2/k длина волны. Вектор k с компонентами (k, 0, 0) называется волновым вектором. Фазовая скорость волны определяется из условия постоянства фазы, т. е. условия Отсюда Для света в вакууме vф = c, поэтому для него имеет место следующее сотношение между величиной волнового вектора и частотой волны Совершенно очевидно, что гребни и впадины волны остаются гребнями и впадинами в любой системе отсчета. Следовательно, форма волны не меняется, и в системе отсчета K волна описывается тем же выражением, что и (14) причем фаза волны является инвариантом, т.е. не зависит от выбора системы отсчета В общем случае произвольного направления распространения вместо (14) имеем где волновой вектор k показывает направления распространения волны.

Введем четырехмерный волновой вектор k i :

Из (17) следует, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю В соответствии с (19) фаза волны представляет собой 4-скаляр и инвариантна относительно преобразований Лоренца. В результате для частоты волны и ее волнового вектора имеем следующие соотношения в двух инерциальных системах отсчета KиK Используя эти преобразования и соотношение (17), мы вновь приходим к формуле эффекта Доплера (11). Момент импульса Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор где r и p радиус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы. Сохранение момента импульса является следствием изотропии пространства. Очевидно, что подобный закон сохранения должен иметь место и в релятивистской механике.

Однако, как мы уже знаем, соответствующая сохраняющаяся величина должна быть записана в 4-мерном виде, т. е. либо как вектор, либо как тензор какого-либо ранга. Это необходимо для того, чтобы закон сохранения был бы справедлив независимо от выбора инерциальной системы отсчета. Как мы помним из лекции 9, закон сохранения момента импульса был нами получен из условия инвариантности потенциальной энергии системы по отношению к поворотам в трехмерном пространстве на произвольный, бесконечно малый угол. Соответствующее изменение потенциальной энергии можно было представить в виде откуда следовало постоянство вектора M.



Однако в геометрии Минковского такой подход оказывается невозможным. Дело в том, что угол поворота в 4-мерном пространстве не является, вообще говоря, вектором. Действительно, компоненты этого вектора должны были бы соответствовать поворотам в каждой из координатных плоскостей. В трехмерном пространстве таких плоскостей Для этого в первой формуле уравнения (24) надо положить = 0 и kx = k cos = (/c) cos.

всего три: xy, xz, yz, ровно столько, какова размерность пространства.

Поэтому и угол поворота (бесконечно малого) в 3-мерном пространстве может быть вектором (аксиальным). Однако в пространстве Минковского таких плоскостей шесть: tx, ty, tz, xy, xz, yz, а вектор (или псевдовектор) имеет всего 4 компоненты.

Для того чтобы понять, как можно обобщить понятие момента импульса на 4-геометрию Минковского, выпишем компоненты момента импульса одной частицы в проекциях на оси координат Отсюда видно, что проекции Mx, My, Mz момента импульса можно записать через компоненты антисимметричного тензора II ранга Его диагональные компоненты равны нулю а недиагональные компоненты, которых ровно три, связаны с компонентами вектора M соотношениями Это можно записать в виде таблицы Таким образом, в трехмерном пространстве компоненты момента импульса являются одновременно компонентами аксиального вектора и антисимметричного тензора II ранга M.

Обобщению на четырехмерный случай поддается лишь вторая величина. В итоге в релятивистской механике у замкнутой системы остается при движении постоянным, т. е. сохраняется, тензор Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента.

Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами аксиального трехмерного вектора момента M = [r p] Остальные компоненты составляют полярный трехмерный вектор В результате 6 независимых компонент 4-тензора момента можно записать в виде Таким образом, у замкнутой системы наряду с вектором M сохраняется одновременно величина Поскольку, с другой стороны, полная энергия E тоже сохраняется, то это равенство можно написать в виде Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором равномерно движется со скоростью Эта скорость есть не что иное, как скорость движения системы как целого, отвечающая по формуле (5) (v = c2 p/E) ее полным энергии ( E) и импульсу ( p) (который также сохраняется).

Формула (39) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению со скоростью света c, то можно приближенно положить E = m0 c2, и тогда вместо (39) имеем обычное классическое выражение Обратим внимание на то, что компоненты вектора R, определяемого формулой (39), не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и поэтому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета это различные точки.

Распад частиц Рассмотрим самопроизвольный распад тела с массой M0 на две части с массами m10 и m20. Закон сохранения энергии при распаде, примененный в системе отсчета, в которой тело покоится, дает где E10 и E20 энергии разлетающихся частей. Поскольку то закон сохранения энергии может выполняться, лишь только если т. е. тело может самопроизвольно распадаться на части, сумма масс покоя которых меньше массы тела.

Наоборот, если то тело устойчиво по отношению к данному распаду и самопроизвольно не распадается. Для инициирования распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энергию, равную как минимум его энергии связи Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться закон сохранения импульса, т. е. сумма импульсов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела, равна нулю:

Но поскольку в релятивистской механике p2 = E 2 /c2 m2 c2, то, следовательно В результате мы приходим к системе из двух уравнений из которых можно найти энергии разлетающихся частей Введем кинетическую энергию как разность между полной энергией и энергией покоя частицы. С помощью этой величины закон сохранения энергии (42) можно представить в виде или В чем польза этого соотношения? Дело в том, что кинетическая энергия может быть преобразована в другие формы энергии, например, в тепло или в излучение и т. д. На этом принципе основана работа атомной бомбы деление ядер урана с высвобождением огромного количества энергии.

Совместное сохранение энергии и импульса налагает довольно серьезные ограничения на ядерные реакции или на акты взаимодействия при столкновениях частиц. Например, фотон высокой энергии (гамма-квант) может породить электронно-позитронную пару по реакции при условии, что его энергия превышает величину (массы покоя электрона и позитрона равны).

В свободном пространстве, однако, эта реакция не может осуществиться ни при какой энергии, так как не может быть обеспечен закон сохранения импульса. Рассмотрим реакцию в системе отсчета, в которой центр масс позитрона и электрона покоится. В этой системе сумма импульсов позитрона и электрона равна нулю Но в этой системе импульс налетающего фотона не равен нулю, так как не существует системы отсчета, в которой импульс фотона мог бы исчезнуть. Таким образом, и реакция не имеет места. Но если эта реакция невозможна в одной системе отсчета, то она невозможна и ни в какой другой системе.

Эта реакция возможна лишь вблизи другой частицы, например, вблизи ядра атома, так как тогда ядро может взять на себя изменение импульса. Оно это делает, толкая своим кулоновским полем заряженные частицы:

При этом реакция изменяет импульс ядра, но не производит в нем никаких других изменений, так что ядро действует как очень простой катализатор. Начальный импульс ядра может быть при этом равен нулю.

Без участия ядра такая реакция возможна лишь при наличии двух квантов Соответственно возможна и обратная реакция, при которой электрон и позитрон аннигилируют с образованием двух квантов.



Pages:     || 2 |
 



Похожие работы:

«Рудольф Мументалер Швейцарские учёные в Санкт-Петербургской академии наук XVIII век Перевод с немецкого языка И.Ю. Тарасовой Нестор-История Санкт-Петербург 2009 УДК 378(=494):061.12(470.23-25)17 ББК 72(44Шва):72.4(2Р-2СПб) М90 Издание осуществлено при поддержке Государственного секретариата по образованию и научным исследованиям Швейцарии Посольства Швейцарии в Российской Федерации Швейцарской высшей технической школы Цюриха Совет по сотрудничеству Швейцария–Россия Санкт-Петербургского...»

«www.DiabeticLife.ru 1 www.DiabeticLife.ru Внимание! Эта книга о диабете предназначена для взрослых больных. Во избежание психических травм не рекомендуем давать ее для прочтения детям и подросткам младше 16—18 лет. Астамирова X., Ахманов М. А 91 Настольная книга диабетика. — М.: Изд-во ЭКСМОПресс, 2001. —400 с. ISBN 5-04-006179-Х Диабет не болезнь, а образ жизни Если вы заболели, не надо отчаиваться, старайтесь активно поддерживать свой организм в нормальном состоянии с помощью диеты, лекарств...»

«ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА ГОСУДАРСТВЕННОГО ОПТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА (К 25-ЛЕТИЮ ОСНОВАНИЯ ГОИ) С. И. Вавилов Оптический институт был задуман и действительно развивался как научный центр особого характера, не укладывающийся в привычные классификационные рамки. Его нельзя назвать физическим или химическим учреждением, не соответствует он и принятому представлению о техническом, отраслевом институте. Постепенно изменяясь, он приспособился к реальной и очень сложной совокупности, в которой осуществилась...»

«Введение В 1977 году вышла замечательная книга гениального Российского инженера Владимира Николаевича Толчина под названием Инерцоид, силы инерции как источник движения[1]. Уже само название книги вызвало бурю эмоций у научной общественности, особенно в стане противников работ В.Н.Толчина. Дело в том, что при теоретических рассуждении силы инерции рассматриваются некоторыми учеными как псевдоактивные силы, имеющие математическое происхождение [2]. Другая часть ученых считает силы инерции вполне...»

«Погрузчики фронтальные одноковшовые АМКОДОР 332В, АМКОДОР 332В-01 АМКОДОР 342В, АМКОДОР 342В-01 АМКОДОР 352, АМКОДОР 352-10 Погрузчики торфа АМКОДОР 342Р, АМКОДОР 342Р-01 Погрузчики универсальные АМКОДОР 332С4 АМКОДОР 342С4 АМКОДОР 352С, АМКОДОР 352С-01, АМКОДОР 352С-02 АМКОДОР 352С-10 Лесопогрузчики фронтальные универсальные АМКОДОР 352Л, АМКОДОР 352Л-01, АМКОДОР 352Л-02 Руководство по эксплуатации 342В.00.00.000 РЭ Издание третье, переработанное и дополненное Минск 2012 Над составлением...»

«Рабочая программа по физике разработана для 10 классов на основе программы Г. Я. Мякишева. Данная программа содержит все темы, включенные в федеральный компонент содержания образования: механика, молекулярная физика и термодинамика, электродинамика, квантовая физика (атомная физика и физика атомного ядра). Рабочая программа составлена с учетом разнородности контингента учащихся непрофилированной средней школы. Федеральный базисный учебный план для образовательных учреждений Российской Федерации...»

«В своих работах 2006-2009 годов мы рассмотрели историю развития орошения в странах Центральной Азии и проанализировали основные причины интенсивного развития процессов опустынивания, включая ухудшение региональных почвенных, биологических, гидрогеологических, гидрологических и геохимических условий в бассейне Аральского моря. Основной целью широкого развития орошения земель в бассейне Аральского моря в ХХ веке вплоть до распада СССР было создание собственной базы хлопка-сырца и избавление...»

«АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВАЛКОВЫХ МАШИН ДЛЯ ПЕРЕРАБОТКИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 А.С. КЛИНКОВ, М.В. СОКОЛОВ, В.И. КОЧЕТОВ, П.С. БЕЛЯЕВ, В.Г. ОДНОЛЬКО АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВАЛКОВЫХ МАШИН ДЛЯ ПЕРЕРАБОТКИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 УДК 621.929.3 ББК Л71 А22 Р е ц е н з е н т ы: Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Полимерсервис Московского государственного университета инженерной...»

«Университета ИТМО ВЫДАЮЩИЕСЯ УЧЕНЫЕ УНИВЕРСИТЕТА ИТМО Серия монографий ученых СанктПетербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики (бывшего Лениградского института точной механики и оптики) Выпуск 11 Основана в 2000 году по решению Ученого Совета университета в ознаменование 100летия со дня создания в составе Ремесленного училища цесаревича Николая Оптикомеханического и часового отделения, превращенного трудами нескольких поколений профессоров и...»

«Введение......................................... 7 История пьянства, алкоголизма, наркомании и токсикомании в свете эзотерики................... 9 Тезаурус наркологии................................ 22 Личности, внесшие вклад в изучение психоактивных веществ.. 37 Измененное состояние сознания....................... 44 Психоделический опыт.......................»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.