WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |

«В. В. ЕЛИСЕЕВ, Т. В. ЗИНОВЬЕВА Механика тонкостенных конструкций Теория стержней Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Приоритетный национальный проект «Образование»

Инновационная образовательная программа

Санкт-Петербургского государственного политехнического

университета

В. В. ЕЛИСЕЕВ, Т. В. ЗИНОВЬЕВА

Механика

тонкостенных конструкций Теория стержней Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия студентам высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 150300 — «Прикладная механика»

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета УДК 539. ББК 22. E Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор, Заместитель директора по научной работе Института Проблем Машиноведения РАН А. К. Беляев Доктор технических наук, профессор, Заведующий кафедрой сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного политехнического университета Б. Е. Мельников Елисеев В. В., Зиновьева Т. В. Механика тонкостенных конструкций.

Теория стержней: Учеб. пособие. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.

— 95 с.

Представлена современная теория упругих стержней как самостоятельный и математически совершенный раздел механики деформируемого твердого тела. Дана общая нелинейная динамическая теория стержней как материальных линий (кривых Коссера). Подробно рассмотрены линейная теория и задачи устойчивости. В рамках трехмерных моделей описаны решения Сен-Венана, изложен вариационный метод перехода к одномерным моделям и показано асимптотическое происхождение теории стержней.

Предназначено в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 150300 — «Прикладная механика». Пособие может быть полезно для аспирантов и инженеров, изучающих механику деформируемого твердого тела.

Работа выполнена в рамках реализации Инновационной образовательной программы Санкт-Петербургского государственного политехнического университета «Развитие политехнической системы подготовки кадров в инновационной среде науки и высокотехнологичных производств Северо– Западного региона России».

Печатается по решению редакционно-издательского совета СанктПетербургского государственного политехнического университета.

c Елисеев В. В., Зиновьева Т. В., c Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Оглавление Введение.................................. 1. Общая нелинейная теория..................... 1.1. Принцип виртуальных работ.................. 1.2. Элементы механики абсолютно твердого тела........ 1.3. Стержень как материальная линия. Движение и деформация 1.4. Принцип виртуальной работы для стержня.......... 1.5. Соотношения упругости.................... 1.6. Полная система уравнений................... 1.7. Классическая модель Кирхгофа-Клебша........... 1.8. Задача Эйлера.......................... 1.9. Уравнения в вариациях..................... 1.10. Модель с растяжением без сдвига............... 1.11. Механика нити.......................... 1.12. Задачи к главе 1......................... 2. Линейная теория........................... 2.1. Уравнения линейной теории.................. 2.2. Теоремы единственности.................... 2.3. Теоремы взаимности работ................... 2.4. Теоремы Лагранжа и Кастильяно............... 2.5. Принцип минимума потенциальной энергии системы.... 2.6. Принцип минимума дополнительной работы......... 2.7. Принцип типа Рейсснера.................... 2.8. Введение в асимптотический анализ............. 2.9. Интегрирование уравнений статики и их асимптотический анализ............................... 2.10. Задача о пологой арке...................... 2.11. Колебания стержней....................... 2.12. Малые поправки к собственным частотам.......... 2.13. Уравнения в компонентах. Круговое кольцо......... 2.14. Прямой стержень........................

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение Деформируемые тела в природе и технике часто имеют вид стержней, т. е. являются тонкими и длинными. Основы механики стержней заложили Бернулли и Эйлер за столетие до появления классической теории упругости. При этом успешно использовалась одномерная модель стержня как деформируемой материальной линии. Удачными были и первые обращения к трехмерной модели в работах Сен-Венана об изгибе и кручении призм. Но последующие попытки рассмотрения стержней как тонких трехмерных тел оказались менее результативны. Механика стержней едва не превратилась в набор правил для приближенных расчетов.

Сегодня мы имеем новую механику стержней — строгую и точную науку. Таков результат усилий ряда отечественных и зарубежных авторов за последние десятилетия. Во-первых, они фундаментально развили прямой подход к стержням как деформируемым материальным линиям. Вовторых, стало понятно асимптотическое происхождение механики стержней: при малой толщине происходит асимптотическое расщепление трехмерной задачи на одномерную (по дуговой координате на оси стержня) и двумерные (в поперечном сечении).



Эти два подхода дополняют друг друга. Прямой подход невозможен без информации о свойствах частиц материальной линии. Эту информацию дает асимптотический анализ. Он сложен, но упрощается благодаря результатам прямого подхода как ориентирам. Современная механика стержней имеет и большое прикладное значение для инженерных расчетов на прочность, жесткость, устойчивость и колебания конструкций.

В учебном пособии изложены основы современной теории стержней. В трех первых главах рассматриваются одномерные модели стержней; представлены общая нелинейная теория, линейные постановки и теория устойчивости. Четвертая глава — о трехмерных моделях и связи их с одномерными. Пятая глава посвящена тонкостенным стержням, наиболее распространенным в технике. Материал соответствует первой части курса лекций по дисциплине «Механика тонкостенных конструкций». В каждой главе приведены задачи, рекомендованные для самостоятельного решения.

Глава Общая нелинейная теория 1.1. Принцип виртуальных работ Напомним известную из курсов общей механики формулировку принципа [1]. Рассматривается система, материальных точек с массами mi, движение ее определяется зависимостями от времени радиус-векторов r i (t);

внутренние силы пусть имеют потенциал, не зависящий явно от времени; внешние силы обозначим F i. Тогда для любых виртуальных перемещений Этот принцип может быть положен в основу механики. Из него легко выводятся уравнения Лагранжа и принцип Гамильтона. Отсюда следуют и фундаментальные законы баланса импульса, момента импульса и энергии.

Пусть, например, все r i одинаковы (трансляция). При этом = 0 — потенциальная энергия внутренних взаимодействий не зависит от «жестких»

движений. Тогда из (1. следует закон баланса импульса Пусть далее r i = O r i, где O — единый для всей системы вектор малого поворота. В этом случае также = 0, и из (1. получаем Это закон баланса момента импульса. Наконец, положим r i = r i t, где r i — действительные скорости частиц. При этом = 1.2. Элементы механики абсолютно твердого тела t, и мы приходим к закону баланса энергии К сожалению, иногда путают закон баланса энергии и дифференциальный вариационный принцип (1.

1.2. Элементы механики абсолютно твердого Движение твердого тела определяется зависимостями от времени радиусвектора полюса r (t) и тензора поворота P (t) 1. Тензор можно ввести так:

свяжем с телом ортогональную тройку ортов ei и положим P = ei ei0, где ei0 — орты в начальном положении и применено, как и всюду ниже, правило суммирования по повторяющемуся индексу. При этом ei = P · ei0, P · P T = E — единичный тензор ((...) — символ транспонирования).

Последнее равенство — тождество по t. Продифференцировав его, получим Здесь необходимы следующие пояснения. Тензор P ·P T оказался антисимметричным. Но всякий антисимметричный тензор может быть представлен в виде A = a E = E a, причем «сопутствующий вектор» выражается следующим образом:

Вектор в (1. — это угловая скорость тела.

Возвратившись к тождеству P · P T = E и проварьировав его, придем к следующему Важное пояснение: вообще-то — это символ варьирования, P есть вариация P ; но O — это единое обозначение, а не «вариация O»; O называется вектором малого поворота.

1 Необходимые сведения из тензорного исчисления можно найти в приложении к книге [6] Для описания поворота твердого тела можно вместо тензора P использовать различные векторы конечного поворота. Как известно, любой поворот можно произвести вокруг некоторой оси. Обозначив k — орт этой оси и — величину угла поворота (знак определяется правилом винта), можно получить следующее представление В качестве вектора поворота можно взять просто k, но чаще встречается 2k tg (/2). Когда за одним поворотом следует другой, их векторы не складываются, но это не противоречит их векторному характеру.

Рассмотрим принцип виртуальной работы для твердого тела. Радиусвектор произвольной точки тела представим в виде R = r + x, где r — радиус-вектор полюса. При этом x(t) = P (t) · x(0). Для скоростей, ускорений и виртуальных перемещений будем иметь Виртуальная работа внешних сил и сил инерции выразится так:

Здесь f dm — внешняя сила, действующая на частицу с массой dm; F — главный вектор внешних сил; M — их момент относительно полюса, m — масса тела, — вектор эксцентриситета (он равен нулю, если полюс — центр масс), I — тензор инерции относительно полюса. Отметим правила дифференцирования:

Множители при независимых вариациях r и O в (1. равны нулю — приходим к уравнениям динамики твердого тела.

1.3. Стержень как материальная линия. Движение и деформация 1.3. Стержень как материальная линия.

Движение и деформация В этой главе и двух следующих используется прямой подход: стержень считается кривой Коссера — материальной линией, частицы которой суть твердые тела. Вводится лагранжева координата s; обычно это дуговая координата в отсчетной конфигурации. Движение стержня задается зависимостью от времени радиус-вектора r (s, t) и тензора поворота P (s, t) для каждой частицы.

Для задания угловой ориентации с каждой частицей связывают по некоторому правилу ортогональную тройку ортов ei. Часто принимают, например, e30 = r 0 (...) /s ; нулевым индексом отмечаются величины в отсчетной конфигурации, а орты e10 и e20 направляют по главным осям инерции сечения, как в курсах сопротивления материалов. Но выбор ei может быть и другим, об этом будет сказано в п. 1.5. Соотношениями вводится вектор кривизны и кручения стержня — его важная характеристика.

Введем векторы При этом оказывается так что играет роль, если аргумент t заменить на s. Равенства (1.

показывают, что не связан (в отличие от ) со способом задания ортов ei и определяется лишь неравномерностью распределения поворотов.

Пусть стержень перемещается без деформации, как твердое тело. При этом Следовательно, векторы и характеризуют деформацию.

Получим необходимые для дальнейшего соотношения между характеристиками движения и деформации. Введем векторы скорости v(s, t) = r и угловой скорости (s, t) : P = P частиц стержня. Из очевидных равенств (r) = (r ) и P = P можно получить следующие важные соотношения:



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |