WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«РЕФЕРАТ ПО ФИЛОСОФИИ Интуиция в математике Воронцов К. В. Вычислительный центр РАН Руководитель семинара доц. Головин И. И. Москва-1995 г. -2Введение Пожалуй, не найти в ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

КАФЕДРА ФИЛОСОФИИ РАН

РЕФЕРАТ ПО ФИЛОСОФИИ

Интуиция в математике

Воронцов К. В.

Вычислительный центр РАН

Руководитель семинара

доц. Головин И. И.

Москва-1995 г.

-2Введение

Пожалуй, не найти в мире явления, столь часто и с пользой применяемого, и в то же время столь непонятного, как интуиция человека. История знает немало попыток дать определение интуиции. Это и прямое непосредственное усмотрение истины умом (рационалисты XVII века), и специфическая форма познавательного процесса, характеризующаяся неосознанностью, непосредственностью, внезапностью (В. Ф. Асмус, А. А. Налчаджян), и специфический способ взаимодействия чувственного и логического познания (А. Эйнштейн), и даже способность к неограниченно богатой фантазии, вырабатыванию “сумасшедших идей” (Д. И. Блохинцев). Понятие интуиции имеет широкий семантический диапазон: от случайного полуосознанного предчувствия, близкого к инстинкту, до высших форм творческого мышления в науке и искусстве.

Мы ограничим круг вопросов, связанных с проблемой интуиции, той ролью, которую интуиция играет в точных науках, в частности, математике. Чтобы не злоупотреблять игрой слов, будем различать три ситуации, в которых математика (и математики) вынуждена прибегать к интуиции. В соответствии с этим разделением один и тот же термин “интуиция” будет употребляться в трёх различных аспектах и иметь несколько различный смысл. Во-первых, под интуицией будем понимать тот источник непосредственного знания, который позволяет формулировать недоказываемые аксиомы и определения математических теорий. Именно этот аспект интуиции находился под наиболее пристальным вниманием философов и математиков античности и эпохи Возрождения. Во-вторых, интуицией будем называть тот, во многом неясный, механизм, который лежит в основе математического творчества и позволяет ставить задачи, получать новые результаты и создавать целые теории.

Наконец, к интуиции будем относить способность выделять и понимать суть достаточно сложных логических построений уже существующих теорий, возможно, даже без детального знания самих этих построений. В то время как первый аспект интуиции традиционно относится к сфере философии и естествознания, последние два представляют гораздо больший практический и методологический интерес. Однако в силу логических закономерностей эволюции научного знания эти два аспекта имеют возрастающее значение, и, выходя за пределы психологии, часто оказываются в поле зрения философов.

Не претендуя ни на исчерпывающую классификацию, ни на новизну терминологии, а лишь на ясность обозначений, мы будем называть эти три аспекта интуиции соответственно фундаментальной интуицией, творческой интуицией и интуицией понимания.

2. Фундаментальная интуиция Термин “фундаментальная интуиция” был впервые введён Е. Л. Фейнбергом и обозначает способность к пониманию основополагающих законов природы и формулированию их в виде аксиом. Это есть прямое усмотрение истины, не опирающееся на доказательства.

Когда-то математики были склонны доверять интуиции. Так, в древнеиндийских трактатах по геометрии в качестве доказательства приводили чертёж и писали только одно слово: “смотри”. Многие философы XVII века (Декарт, Лейбниц, Спиноза) видели в интуиции источник необходимости и всеобщности математического знания.

Корифей сенсуалистической теории познания Локк (1632-1704) полагал даже, что с -3точки зрения достоверности, ясности и границ применимости интуитивное познание должно быть признано самым совершенным из всех видов знания.

Позже пришло понимание того, что интуиция может легко вводить в заблуждение, приводить к противоречиям и парадоксам. “Интуиция не может дать нам ни строгости, ни даже достоверности”, - замечает Анри Пуанкаре. Выдающийся немецкий математик Феликс Клейн, объясняя обманчивость геометрических образов, основанных на чувственной интуиции, указывает, что прямая линия представляется нам скорее некоторой узкой полоской, чем абстрактной “длиной без ширины”. При этом её конечная, интуитивно воспринимаемая ширина поглощает неуловимые тонкости строения идеализированного геометрического объекта.

Первоначальные интуитивные представления о бесконечности вообще оказываются насквозь противоречивыми (именно первоначальные, так как интуитивные представления современного математика уже базируется на знаниях).

Например, часть бесконечного множества может быть взаимно однозначно отождествлена со всем множеством. Это подрывает наши интуитивные представления о том, что часть всегда меньше целого. Ещё один пример даёт нам аксиома евклидовой геометрии, гласящая, что через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Лобачевский и Риман предположили, соответственно, что параллельных может быть либо бесконечно много, либо вообще ни одной, и получили свои варианты геометрии. Оказалось, что оба эти варианта неевклидовой геометрии внутренне непротиворечивы, следовательно могут иметь место. Это подрывает нашу интуитивную убеждённость в том, что параллельная обязательно должна быть единственной. Заметим, что эта убеждённость также вытекает из вольного обращения нашей интуиции с бесконечностью. Параллельными называются прямые, которые никогда не пересекаются. Однако мы не можем сходить в бесконечность, чтобы проверить это, и вынуждены доверять интуиции, основанной на опыте обращения с одними лишь конечными материальными объектами.



В математике XIX века число строго доказанных утверждений, противоречащих непосредственным данным интуиции, ещё более увеличилось. Это открытие непрерывных функций, не имеющих производной (кривая Вейерштрасса, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке); доказательство возможности изобразить кривую конечной длины на сплошной площадке (кривая Пеано, 1890 г.), и многие другие.

История математики свидетельствует о том, что в некоторый момент интуицию перестали считать действительным критерием истинности математических положений.

Как это обычно бывает, признание существования некоторой проблемы вызвало желание решить её наиболее радикальным образом.

Уже Лейбниц наметил идею чисто логической разработки математики, полностью не зависимой от интуиции. В своём письме к Христиану Гюйгенсу он сообщает: “Я нашёл некоторые начала нового, совершенно отличного от алгебры символического языка, благодаря которому можно будет представить с большой пользой, точно и сообразно с делом, без фигур, в мыслях, всё то, что зависит от интуиции”. На рубеже XIX - XX вв. почти одновременно появились исследования французского учёного Луи Кутюра и английского - Бертрана Рассела, посвящённые логике Лейбница. Подход логистиков состоял в том, чтобы не только довести до возможного минимума число основных положений математики, приобретаемых с помощью интуиции, но и полностью свести математику к логике. Чуть позже Пеано разработал специальный символический язык, названный сначала пасиграфией, то есть житейского словаря.

Наиболее убедительное обоснование невозможности окончательно избавиться от фундаментальной интуиции в основаниях математики приводит крупнейший французский учёный Анри Пуанкаре. Указывая на невозможность доказательства принципа полной индукции, он пишет: “Чтобы установить, что постулаты не содержат в себе противоречий, нужно рассмотреть все предложения, которые могут быть выведены из этих постулатов, как посылок, и показать, что среди этих предложений нет двух, противоречащих друг другу. Число этих предложений оказывается неограниченным, и прямая проверка уже невозможна. Тогда необходимо обратиться к таким способам доказательства, в которых вообще нельзя обойтись без применения полной индукции, то есть того принципа, который и надлежит проверить”. Логистики пытались решить эту проблему, объявив принцип полной индукции определением целого числа, то есть простым соглашением. Однако, как указывает Пуанкаре, всякое определение является в то же время скрытым постулатом: оно означает по меньшей мере то, что определяемый объект существует, то есть свободен от противоречий. Если принять такое определение, оно опять-таки будет заключать в себе непосредственное интуитивное усмотрение ума.

Подмеченная Пуанкаре причина несостоятельности логистики легла в основу фундаментальной теоремы Гёделя о неполноте арифметики. Согласно этой теореме, в каждой математической системе, для которой имеется доказательство её непротиворечивости и которая содержит арифметику, фигурируют положения, в этой системе недоказуемые, но доступные доказательству по принципу “интуиционизма”.

Чисто формалистическое обоснование математики оказалось невозможным.

Кроме того, сама логика, как выяснилось, является типичной аксиоматической системой, происхождение основных постулатов которой уже никак не может считаться логическим (поскольку именно логика и подлежит определению). Например, основное правило вывода modus ponens (если А истинно и из А следует В, то В также истинно) есть ничто иное, как прямое интуитивное усмотрение. По существу оно означает, что с помощью логики можно изучать только те миры, в которых никогда не нарушаются причинно-следственные связи. То, что наш мир именно такой - эмпирический опытный факт, подобный тем, на основе которых формулировались фундаментальные законы физики. Как к любому опытному факту, к нему следует относиться лишь с некоторой долей уверенности, другое дело, что эта уверенность может быть очень велика.

Аксиоматический подход к построению теоретической науки только сегодня кажется естественным и почти единственно возможным. Приведённые выше отрывки из многовекового спора о значении логики и интуиции говорят о том, с какими усилиями эта точка зрения доказывала свой приоритет. Она представляет собой наиболее разумный компромисс между безграничным доверием к интуиции и желанием абсолютно всё подчинить строгой логике. В аксиоматическом подходе интуитивные представления о некоторых объектах и их взаимосвязях формализуются в виде определений и постулатов. Только на этом этапе в теорию может быть внесена ошибка или неточность. Результатам теории можно доверять ровно в той же степени, что и исходным интуитивным положениям и способу их формализации.

Такой взгляд, как легко видеть, отвергает тезис о всеобщем и необходимом характере математического знания, господствовавший в умах математиков и философов XVII века. Современные философы придерживаются более реалистичной точки зрения. Например, К.Поппер полагает, что задача точных наук сводится к тому, предположениями. “Эмпирический базис науки - не “абсолют”, наука не строится на гранитном основании. Смелые конструкции её теорий возвышаются над болотом и опираются на сваи, которые уходят в топь, но никогда не достигают основания”.

Исходные предположения поставляются интуицией, они описывают реальность лишь с некоторой точностью, их истинность всегда остаётся в той или иной степени делом веры. “Теория - сеть, которую мы забрасываем, чтобы уловить “мир”, чтобы рационализировать, объяснить его и господствовать над ним. Мы трудимся для того, чтобы сделать ячейки сети всё более мелкими”, - утверждает К. Поппер.

Фундаментальная интуиция как раз и является тем инструментом, который позволяет с каждым шагом всё глубже проникать в тонкости устройства мира, “делать ячейки сети всё более мелкими”. Ещё одна важная особенность этого типа интуиции усматривается из следующего наблюдения.



Pages:     || 2 | 3 | 4 |
 



Похожие работы:

«Доказательная медицина и клиническая эпидемиология Почему необходима доказательная медицина На рубеже 80-90-х годов в англоязычной медицине сформировалась новая область знаний - клиническая эпидемиология. Наибольшую известность получили работы группы канадских ученых - D.Sackett, B.Haynes, G.Guyatt и P.Tugwell из Университета МакМастера, Онтарио, впервые попытавшихся рассмотреть врачебное искусство с точки зрения строгих научных принципов. Эти научные принципы оказали и оказывают огромное...»

«70 лет Хоровому училищу имени А.В. Свешникова Статьи Воспоминания Интервью Составители: А. Ампар, Л. Рощина, Н. Сербул, М. Цуканова Под общей редакцией Р. Докучаевой Москва 2014 УДК 783.8 ББК 85.103(2) А46 Авторы: В.П. Александрова, А.И. Гавдуш, Б.Д. Критский, В.Я. Новоблаговещенский, М.П. Рахманова, Р.К. Щедрин, Т.К. Егорова, В.Н. Минин, А.А. Марцинкевич, Д.Ю. Храмов, Г.В. Федосеева, О.П. Цуканова, М.В. Цуканова, Л.Р. Тухманова, П.Ю. Брохин, А.А. Леер, И.Н. Найденова, Л.Е. Школьников, А.Н....»

«наРоДная сЕЛЬскоХоЗяЙстВЕнная МуДРостЬ В ПосЛоВиЦаХ, ПогоВоРкаХ и ПРиМЕтаХ...»

«Аннотация В книге рассмотрены самые увлекательные загадки острова Пасхи: как и откуда появились здесь люди; почему и каким образом стали они возводить знаменитые каменные статуи; в чем тайна почти полного исчезновения аборигенов; была ли у островитян письменность и что скрывают обнаруженные здесь, но по сей день не расшифрованные деревянные таблички ронгоронго. Затронуты автором и многие другие любопытные вопросы. Книга адресована широкому кругу читателей, прежде всего тем, кто интересуется...»

«12-21 апреля 2010 г. МАРКШЕЙДЕРИЯ, ГЕОМЕХАНИКА И ГЕОТЕХНОЛОГИИ УДК 622.817 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАЗООБРАЗНЫХ ПРОДУКТОВ ВЗРЫВА ПРИ ПРОВЕДЕНИИ МАССОВЫХ ВЗРЫВОВ НА КАРЬЕРАХ РОГОВЦЕВА Ю. С., МОНАХОВ Е. Д. ГОУ ВПО Уральский государственный горный университет Известно, что после массовых взрывов ВВ образуются ядовитые газы, которые задерживают производство горных работ и ставят под угрозу здоровье работающих. Состав и соотношение этих газов может быть различным и, в основном, зависит от состава применяемых...»

«1 класс (33 часа) Ты изображаешь, украшаешь и строишь Три вида художественной деятельности, определяющие все многообразие визуальных пространственных искусств, положены в основу первого, вступительного класса. На помощь детям (и учителю) приходит игровая, образная форма приобщения: Три брата-мастера – Мастер Изображения, Мастер Украшения и Мастер Постройки. Открытием для детей должно стать, что многие их повседневные бытовые игры являются художественной деятельностью – тем же, чем занимаются...»

«Утверждено: Приказ №_от _20_г. Директор И.П. Яник Дополнительная предпрофессиональная общеобразовательная программа в области музыкального искусства Инструменты эстрадного оркестра Учебный предмет Специальность и чтение с листа (тромбон). Индекс учебного предмета, предметной области по ФГТ ПО.01.УП.01 Разработчик(и) – Овчинников П. Л. преподаватель по классу тромбона ДМШ им. Дж. Гершвина Москва – 2013 Содержание программы 1. Пояснительная записка Характеристика учебного процесса Цели и задачи...»

«По травушке-муравушке зелененькой! Газон: его виды, устройство и уход Друзьям, коллегам, любителям-садоводам! Пожалуй, не ошибусь, если скажу, что у каждого на участке сегодня есть такой элемент ландшафтного дизайна, как газон. И это вовсе неудивительно. Во-первых, он всегда радует глаз. А во-вторых, как замечательно походить босиком в хороший теплый денек по шелковой травке или просто позагорать! Конечно, у кого-то газон занимает большую площадь, у кого-то всего пару квадратных метров, но это...»

«РОССПЭН Москва 2007 УДК 929Карнеги ББК 84(7) К21 Редактор А. И. Иоффе Электронная версия: http://www.carnegie.ru/ru/pubs/books. Книга издана при содействии некоммерческой неправительственной исследовательской организации — Московского Центра Карнеги. Приносим благодарность Дому-музею Эндрю Карнеги, Библиотеке Карнеги в Питсбурге, Библиотеке Конгресса США за предоставленные фотографии и другие иллюстративные материалы. В оформлении переплета использован рисунок карандашом художника Гаспарна,...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.