WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Задачи и упражнения Брест 2010 УДК 519.2.(076) В настоящей методической разработке рассматриваются задачи и упражнения по ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Брестский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Задачи и упражнения

Брест 2010

УДК 519.2.(076)

В настоящей методической разработке рассматриваются задачи и упражнения по основным темам теории вероятностей и математической статистики. Содержатся краткие теоретические сведения и наборы заданий для аудиторных и индивидуальных работ.

Составители: Гладкий И.И., старший преподаватель, Каримова Т.И., доцент, к.ф.-м.н., Махнист Л.П., доцент, к.т.н.

Тузик Т.А., доцент Рецензент: Мирская Е.И., доцент кафедры информатики и прикладной математики учреждения образования «Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина», к.ф.-м.н.

© Учреждение образования «Брестский государственный технический университет», Вопросы учебной программы по теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей 1. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.

2. События и их виды. Алгебра событий.

3. Вероятность события. Свойства вероятности. Способы вычисления вероятности случайного события (классический, геометрический и статистический).

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Формулы полной вероятности и Байеса.

6. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли.

7. Предельные случаи в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, формула Пуассона.

8. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в схеме Бернулли.

9. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

10. Функция распределения одномерной случайной величины, свойства функции распределения.

11. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, свойства плотности.

12. Числовые характеристики дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

13. Классические законы распределения дискретной случайной величины: геометрическое, биномиальное и Пуассона.

14. Классические законы распределения непрерывной случайной величины: равномерное, нормальное, показательное и функция надежности.

15. Зависимые и независимые случайные величины. Коррелированность и зависимость случайной величины.

16. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин.

Математическая статистика 17. Статистическая совокупность. Генеральная и выборочная совокупности.

18. Статистическое распределение выборки. Геометрическое изображение статистических рядов.

19. Эмпирическая функция распределения.

20. Основные числовые характеристики выборки.

21. Понятие статистической оценки неизвестных параметров распределения. Точечные оценки и их классификация.

22. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.

23. Доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения.

Распределения 2 (“хи” - квадрат) и Стьюдента.

24.

25. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Ошибки первого и второго рода при проверке гипотез. Уровень значимости, критическая область. Статистический критерий и его мощность.

Критерии согласия 2 и Колмогорова.

26.

27. Основные понятия корреляционного регрессионного анализа.

28. Линейная корреляционная зависимость и прямые среднеквадратических регрессий.

Классическая вероятность Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных элементов (объектов).

Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух общих правил: правило суммы и правило произведения.

Правило суммы: если объект A можно выбрать m способами, а объект B – n способами (не такими, как для A ), то объект “или A, или B ” можно выбрать m + n способами.

Правило произведения: если объект A можно выбрать m способами, а после каждого выбора другой объект B можно выбрать n способами, то объект “ A и B ” можно выбрать m n способами.

Перестановками из n элементов называют различные комбинации, составленные из n данных элементов, которые отличаются друг от друга порядком следования элементов.

Количество различных перестановок из n данных элементов можно найти по формуле:

Пример 1. Сколькими различными способами можно расположить книг на полке?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из элементов (книг), т.е. P5 = 5! = 120.

Размещениями из n элементов по k ( 0 k n ) называют различные комбинации, составленные из n данных элементов по k в каждой, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.



Количество различных размещений из n данных элементов по k можно найти по формуле:

Пример 2. В турнире принимают участие 8 команд. Сколько различных предсказаний относительно распределения трех первых мест можно сделать?

Решение. Т.к. при распределении трех первых мест важно не только какие именно команды попадут в тройку лидеров, но и в каком порядке они будут расположены, то искомое число предсказаний равно числу размещений из 8 элементов (команд) по 3, т.е.

Сочетаниями из n элементов по k ( 0 k n ) называют различные комбинации, составленные из n данных элементов по k в каждой, которые отличаются друг от друга только самими элементами.

Количество различных сочетаний из n данных элементов по k можно найти по формуле:

Пример 3. Из группы студентов, состоящей из 10 человек, для участия в конкурсе выбирают 4 человека. Определить число всех возможных результатов выбора.

Решение. Число всех возможных результатов выбора равно числу сочетаний из 10 элементов (студентов) по 4, т.е.

Классическое определение вероятности.

Случайным событием (событием) будем называть любой исход опыта (выполнения определенного комплекса условий), который может появиться или не появиться.

События обозначают большими латинскими буквами: А, В, С, … Событие называют достоверным ( ), если в условиях данного опыта оно обязательно произойдет.

Событие называют невозможным ( ), если в условиях данного опыта оно никогда не произойдет.

Каждое событие, которое может наступить в результате опыта (испытания), называется элементарным исходом опыта, если это событие нельзя разложить на более простые события. Получаем так называемое пространство элементарных исходов = {1,2,...,n }. Исходы i, при которых событие А наступает, называются благоприятствующими событию А.

Вероятностью события А называется число, равное отношению числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу n всех равновозможных исходов опыта.

Вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0 P ( A) 1.

Для достоверного события P () = 1, для невозможного события Пример 4. В урне находится 5 черных и 3 белых шара. Какова вероятность того, что наудачу взятый из урны шар окажется белым?

Решение. Опишем пространство элементарных исходов. Будем обозначать « Чi » появление i-ого черного шара, i = 1, 5, и « Б j » появление j-ого белого шара, j = 1, 3.

Всех исходов 8, т.е. n=8.

Событие А состоит в том, что наудачу взятый из урны шар окажется белым. Ему благоприятствует 3 исхода, m=3.

Пример 5. В ящике 9 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей ровно две будут окрашены.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что среди извлеченных деталей ровно две будут окрашены.

Общее число возможных результатов выбора трех деталей из девяти имеющихся равно числу сочетаний из 9 по 3, т.е. n = C9. Число исходов, благоприятствующих событию А, определяется как произведение числа возможных результатов выбора двух окрашенных деталей из шести и числа возможных результатов выбора одной неокрашенной детали из трех, т.е. m = C6 C3. Таким образом:

Пример 6. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортные. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 3-х импортных телевизоров; предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

Решение. Событие А состоит в том, что в течение дня из 5 проданных телевизоров импортных оказалось не менее 3-х, т.е. или 3, или 4, или 5.

Общее число выбора 5 телевизоров из 30 имеющихся ровно числу сочетаний из 30 по 5, т.е.

Число исходов, благоприятствующих событию A, определится как сумма произведений вида Пример 7. Среди 20 деталей имеется 6 бракованных. Для проверки качества наудачу выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных будут: а) ровно 3 стандартные детали; б) от 2-х до 4-х стандартных деталей; в) хотя бы одна бракованная.

Решение. Общее число выбора 4 деталей из 20 имеющихся равно числу сочетаний из 20 по 4, т.е.

а) Пусть событие A состоит в том, что среди 4 взятых деталей 3 стандартных из 14 и одна бракованная из 6. Применив правило произведения, найдем число таких исходов б) Пусть событие B состоит в том, что среди 4-х взятых деталей: или 2 стандартные из 14 и 2 бракованные из 6; или 3 стандартные из 14 и одна бракованная из 6; или 4 стандартные из 14 и ни одной бракованной из 6. Применив правила суммы и произведения, найдем число таких исходов в) Пусть событие C состоит в том, что среди 4-х взятых деталей хотя бы одна бракованная, т.е. или 1, или 2, или 3, или 4 бракованных. Применив правила суммы и произведения, найдем число таких исходов 1. Один раз подбрасывается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет а) четное число очков; б) число очков меньшее пяти; в) число очков не менее двух?

2. Правильная монета подбрасывается 2 раза. Какова вероятность того, что: а) герб выпадет 2 раза; б) герб выпадет 1 раз; в) герб выпадет хотя бы один раз?

3. В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Наудачу извлечен 1 шар. Какова вероятность того, что он: а) белый; б) черный; в) синий?

4. Игральная кость подбрасывается 2 раза. Какова вероятность того, что: а) сумма брошенных очков равна 6, а произведение 8; б) сумма выпавших очков не более трех?

5. Имеются 4 детали, среди которых 3 стандартные и одна нестандартная. Наудачу взяли 2 детали. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей а) 2 стандартные; б) 1 стандартная и 1 нестандартная; в) хотя бы одна стандартная?

6. Из колоды 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них 2 туза.

7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажется ровно 3 женщины.

8. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых пяти шаров будет: а) ровно 3 черных; б) хотя бы один черный.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 



Похожие работы:

«Е.Л. Федотова, А.А. Федотов ИНФОРМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ Рекомендовано Учебно-методическим Советом Московского государственного института электронной техники (Технический университет) в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 20040165 Биотехнические и медицинские системы и аппараты, 23010465 Системы автоматизированного проектирования, 21010465 Микроэлектроника и твердотельная электроника, 21060165 Нанотехнология в электронике и др. Москва ИД ФОРУМ – ИНФРА-М 2011 УДК...»

«Путь к Энергии Москва • Логос • 2001 Что имеем — не храним, потерявши — плачем. Заместитель генерального конструктора Ракетно-космичес­ кой корпорации Энергия имени С.П. Королева, руководитель научно-технического центра по средствам выведения, доктор технических наук, профессор, действительный член Академии космонавтики и международной Академии информатизации, Зас­ луженный конструктор Российской Федерации Вячеслав Михай­ лович Филин родился в 1939 году в Рязанской области. В 1963 году окончил...»

«Бюллетень новых поступлений в Фундаментальную библиотеку декабрь 2013 г. Москва 2013 1 Составители: Т.А. Сенченко В бюллетень вошла учебная, учебно-методическая, научная и художественная литература, поступившая в Фундаментальную библиотеку в декабре 2013 г. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов – в алфавитно-хронологическом. Указано распределение по сигле хранения, а также количество экземпляров. 2 Содержание: Документы в обработке..4-82 Основы...»

«Серия ЕстЕствЕННыЕ Науки № 1 (3) издаётся с 2008 года Выходит 2 раза в год Москва  2009 редакционный совет: Рябов В.В. доктор исторических наук, профессор, Председатель ректор МГПУ Атанасян С.Л. кандидат физико-математических наук, профессор, проректор по учебной работе МГПУ Геворкян Е.Н. доктор экономических наук, профессор, проректор по научной работе МГПУ Русецкая М.Н. кандидат педагогических наук, доцент, проректор по инновационной деятельности МГПУ редакционная коллегия: Атанасян С.Л....»

«ИНФОРМАТИКА Лекция 1. Введение в информатику 1.1. Что такое инфоpматика? Термин информатика (франц. informatique) происходит от французских слов information (информация) и automatique (автоматика) и дословно означает информационная автоматика. Широко распространён также англоязычный вариант этого термина — Сomputer science, что означает буквально компьютерная наука. Инфоpматика — это основанная на использовании компьютерной техники дисциплина, изучающая структуру и общие свойства информации, а...»

«В.М. Заболотный ДРЕВНИЕ ЯЗЫКИ  И КУЛЬТУРЫ  Учебно-методический комплекс Москва, 2009 1   Древние языки и культуры  УДК 81 ББК 81 З 125 Научный редактор: д.ф.н., проф. С.С. Хромов Заболотный, В.М. ДРЕВНИЕ ЯЗЫКИ И КУЛЬТУРЫ. – М.: Изд. центр З 125 ЕАОИ, 2009. – 308 с. ISBN 978-5-374-00262-1 УДК 81 ББК 81 © Заболотный В.М., 2009 © Оформление. Евразийский открытый ISBN 978-5-374-00262-1 институт, 2009 2   Древние языки и культуры  ОГЛАВЛЕНИЕ Сведения об авторе Предисловие Введение Тема 1. Вводная...»

«А.С. Ваганов Н.А. Шмелев Стратегический маркетинг Учебно-практическое пособие Москва 2005 1 УДК 339.138 ББК 65.290-2 В 124 ВагановА.С. Шмелев Н.А. СТРАТЕГИЧЕСКИЙ МАРКЕТИНГ: Учебнопрактическое пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2005. – 112 с. © Ваганов А.С., 2005 ISBN 5-7764-0377-4 © Шмелев Н.А., 2005 © Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2005 2 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1. Маркетинг как фактор...»

«ПОСТАНОВЛЕНИЕ СОВЕТА МИНИСТРОВ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 12 апреля 2006 г. № 498 Об утверждении Таблицы распределения полос радиочастот между радиослужбами Республики Беларусь В соответствии со статьей 8 Закона Республики Беларусь от 19 июля 2005 г. Об электросвязи Совет Министров Республики Беларусь ПОСТАНОВЛЯЕТ: Утвердить Таблицу распределения полос радиочастот между радиослужбами Республики Беларусь (прилагается). Министерству связи и информатизации в месячный срок довести указанную Таблицу до...»

«ДОЗА ОБЛУЧЕНИЯ ПРИ КОМПЬЮТЕРНО-ТОМОГРАФИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ: ДОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ, ИЗМЕРЕНИЕ, СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ, РАДИАЦИОННЫЙ РИСК. С.А. Хоружик, А.Н. Михайлов. ГУ РНПЦ онкологии и медицинской радиологии им. Н.Н. Александрова, ГУО Белорусская медицинская академия последипломного образования, г. Минск, Республика Беларусь. Резюме. Компьютерная томография – высокоинформативный, но в то же время связанный с высокой лучевой нагрузкой метод диагностики. Целью статьи является обзор...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.