WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |

«ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР – ПРОФ. ЧИРСКИЙ В.Г. МОСКВА -2008 2 Уважаемый читатель! ...»

-- [ Страница 1 ] --

1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ

СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКТОР – ПРОФ. ЧИРСКИЙ В.Г.

МОСКВА -2008 2 Уважаемый читатель!

Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал в первом семестре 2008 года студентам первого курса. Цель его написания – облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в систему Ваши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, а лишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и, следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственному конспекту.

Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы «конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я не читал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться к экзамену – смелые, но безответственные люди.

Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я буду благодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания.

В заключение выражаю искреннюю благодарность Вашим коллегам, студентам 1 курса 2006г О. Степановой, П. Рудаковской, Е. Гаранину, А.

Климову, В. Пичужкину, А. Плеханову, которые помогли в подготовке этого пособия.

Также выражаю благодарность старосте первого курса 2008г. Каменеву Е.И.

и студентам первого курса 2008г. Денисову С.С. и Яско И.С. за редакцию и внесение изменений в работу предшественников.

С наилучшими пожеланиями Ваш лектор В.Г. Чирский Билет 1. Множества и операции над ними 1.1. Понятие множества Понятия множества и его элемента относятся к числу первичных, неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точка, прямая линия и др. Вместо определения такого понятия приходится обходиться его описанием. Создатель теории множеств Георг Кантор в году описал понятие множества, как «объединения в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».

Мы будем говорить, что определено некоторое множество М объектов, если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета х сказать, принадлежит ли этот предмет множеству М, или нет.

Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчными латинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение a A используется, как краткая запись утверждения: а есть элемент множества А, обозначение a A используется, как или: а принадлежит А. Аналогично, краткая запись утверждения: а не является элементом множества А, или: а не принадлежит А. Множество, не имеющее элементов, называется пустым и обозначается.

Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно просто перечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число, т.е. если множество конечное. Например, множество, состоящее из двух чисел, 0 и 1. В этом случае используется обозначение {0,1}. Для произвольного конечного множества, например, состоящего из различных элементов {a1,…am}, используется обозначение {a1,…am},. Подчеркнём, что в этом обозначении множества элементы a1,…am, должны быть различными, однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например, {1,2,3,4} и {2,1,4,3} - различные обозначения одного и того же множества.

Можно также указать свойство, которому удовлетворяют элементы рассматриваемого множества. Например, множество действительных чисел, больших 5. Обозначим его {x|x 5}.

Некоторые множества определяются с помощью указания способа последовательного построения его элементов. Например, x1=1, xn=nxn-1, n=2,3,… Новые множества можно получать и в результате операций над заданными множествами.

Наиболее часто у нас будут рассматриваться множество R действительных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целых чисел, множество Q рациональных чисел.

1.2. Подмножества Важный способ задания множества – выделение его, как части некоторого основного множества. Основное множество образуется всеми элементами какого-нибудь определённого типа. Например, множество целых чисел, множество простых чисел и т.п.

В качестве примера рассмотрим основное множество целых чисел и выберем в нём те числа, которые делятся на 2, т.е. чётные числа. Мы получили множество чётных чисел, которое является подмножеством основного множества целых чисел.

В общем случае, если все элементы множества А являются также элементами множества B, то мы говорим, что А есть подмножество B, или А включено в B, и обозначаем это так: A B.

Если оказалось, что одновременно A B и B A, то эти множества называются равными, что обозначается A B. Проще говоря, равные множества состоят из одних и тех же элементов.

включения множеств является транзитивным. Понятие отношения и его свойства будут подробнее описаны в билете 2).

1.3. Операции над множествами Пусть задано некоторое основное множество M и его подмножества A Определение 1.1. Объединение A B этих множеств определяется, как подмножество множества M, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A и B.

Определение 1.2. Пересечение A B этих множеств определяется, как подмножество множества M, состоящее из элементов, одновременно входящих как в множество A, так и в множество B.



подмножество множества M, не содержащее элементов множества A.

Перечислим некоторые свойства операций над множествами.

В качестве примера докажем свойство заметим, что условие x C ( A B) равносильно тому, что x A B. Это, в свою очередь, равносильно тому, что x A и x B, т.е. x C A C B. Свойство доказано.

Это утверждение, вместе с утверждением теоремами де Моргана. Доказательства остальных свойств ещё проще и мы их опускаем.

Билет 2. Декартово произведение множеств. Бинарные 2.1. Декартово произведение множеств Определение 2.1. Пусть даны два множества, A и B. Образуем множество упорядоченных пар элементов, у которых первый элемент принадлежит A, а второй - B. Полученное множество называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A B.

Перечислим некоторые простейшие свойства декартова произведения.

2.2. Бинарные отношения Определение 2.2. Любое подмножество R множества A B называется бинарным отношением.

Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.

Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть A {1, 2,3}, B {1, 2,3, 4,5, 6}. Зададим отношение R A B свойством: пара ( x, y ), x A, y B принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда x есть делитель y. Отношение R, таким образом, состоит из пар: (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6).

Изобразим это отношение следующим образом. Проведём три прямые, соответствующие трём элементам множества A. Проведём шесть перпендикулярных им прямых, соответствующих элементам множества B.

Отметим жирной точкой те точки пересечения этих прямых, которые соответствуют отношению R.(рис.1) Другой способ задания бинарного отношения – использование стрелок.

Элементы A и B изображаются в виде точек плоскости. Стрелками соединены те, и только те элементы x A, y B, для которых ( x, y ) R.(рис.2) Это же бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества A, столбцы – элементам множества B. Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре x A, y B, для которой ( x, y ) R.

Определение 2.3. Элемент a называется проекцией элемента a (a, b) A B на множество A. Для произвольного подмножества E A B его проекцией на A называется множество, состоящее из проекций на A всех элементов множества E.

Определение 2.4. Сечением x a множества E называется множество E ( a ) элементов y B, для которых ( a, y ) E. Множество сечений отношения E называется фактормножеством B по отношению E и обозначается B E.

Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.

Определение 2.5. Композиция отношений E, G - это отношение GE между элементами множеств A и C такое, что для всех x A сечение множества GE по x совпадает с сечением множества G по подмножеству причём E D и G F, то операция композиции обладает следующим свойством: EG DF.

Определение 2.6. Отношение, симметричное к некоторому отношению E A B и обозначаемое E 1, представляет собой подмножество множества Предположим, что задано некоторое основное множество M.

Отношение E M M называется отношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:

1. Рефлексивностью: всякий элемент a эквивалентен самому себе.

Иными словами, для любого a M пара (a, a) E.

2. Симметричностью: для любых двух элементов a, b M из того, что a эквивалентен b следует, что b эквивалентен a. Другими словами, если ( a, b) E, то (b, a) E. Это означает, что отношение E совпадает со своим обратным, E 1.

3. Транзитивностью: если a эквивалентен b, а b эквивалентен c, то a эквивалентен c. Иначе говоря, если (a, b) E и (b, c ) E, то (a, c) E.

Очень часто отношение эквивалентности элементов a, b M обозначается так: a b.

Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента a M состоит из всех элементов b M, эквивалентных элементу a. Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества M по отношению E и обозначается M / E. Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим систему представителей.

В качестве примера рассмотрим множество Z целых чисел. Зафиксируем произвольное целое число m 0 и назовём два целых числа a, b сравнимыми по модулю m (что обозначается a b(mod m) ), если разность a b делится на m. Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами вычетов по модулю m, в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на m, т.е. числа 0,1,..., m 1. Это множество обозначается Z. На нём можно определить операции сложения и умножения естественным образом. Имеется в виду, что следует просуммировать вычеты, как обычные целые числа, разделить сумму на m с остатком и этот остаток назвать суммой вычетов. Аналогично определим произведение вычетов.

Определение 3.1. Назовём бинарное отношение E A B функциональным, если для каждого x A сечение E ( x ) содержит не более одного элемента.

Определение 3.2. Если отношение E 1, симметричное к отношению E A B, также является функциональным, то отношение E называется взаимно однозначным.

Определение 3.3. Если для каждого x A сечение E ( x ) содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение 3.4. Отображение, обозначим его f, сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение E ( x ) - непустое множество, единственный элемент f ( x ) подмножества E ( x ) множества B. Этот элемент f ( x ) называется образом элемента x A при отображении f.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
 



Похожие работы:

«Об авторах: П. А. Оржековский — доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой методики преподавания химии МИОО Н. Н. Богданова — ст. преподаватель кафедры методики преподавания химии МИОО Е. Ю. Васюкова — ст. преподаватель кафедры методики преподавания химии МИОО Л. М. Мещерякова — ст. преподаватель кафедры методики преподавания химии МИОО Оржековский П. А. О-65 ЕГЭ 2014. Химия : сборник заданий / П. А. Оржековский, Н. Н. Богданова, Е. Ю. Васюкова и др. — М. : Эксмо, 2013. — 240 с. —...»

«УТВЕРЖДАЮ Декан факультетов агрохимии и почвоведения, защиты растений доцент И.А. Лебедовский 2013г. Рабочая программа дисциплины ЛАНДШАФТОВЕДЕНИЕ 110100.62 Агрохимия и агропочвоведение Бакалавр Дневная форма обучения Вид учебной работы курс, час. / з. е. семестр Аудиторные занятия — Курс 1, 40/1,11 всего семестр 2 лекции 22/0,61 + практические занятия (семинары) 18/0,61 + Самостоятельная работа — всего 68/1,89 + реферат 38 + другие виды самостоятельной работы 30 Вид промежуточной аттестации...»

«Военная наука. Военное дело 1) Сидоров, Павел Иванович.     Медицина катастроф : учеб. пособие для мед. вузов / П. И. Сидоров, И. Г. Мосягин, А. С.  Сарычев. – М. : Академия, 2010. – 318 с. : ил. – (Высшее профессиональное образование). Цена: 414.18 руб. – ISBN 978-5-7695-6883-1. Рубрики: 1. Медицинская служба гражданской обороны. Кл. слова: оказание помощи — РСЧС — единая государственная система предупреждения и ликвидации ЧС — ...»

«Утверждаю Декан факультета ветеринарной медицины, профессор А.А. Лысенко _2009г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ ПО ФАРМАЦИИ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ для специальности 111201 Ветеринария, для студентов факультета ветеринарной медицины; ведущая кафедра органической и физколлоидной химии Объем дисциплины и виды учебной работы (час.) Очная форма Виды учебной работы Всего Курс, семестр Общая трудоемкость по ГОС Аудиторные занятия: лекции 18 4/7 4/7 лабораторные занятия 14 4/7 4/7 практические...»

«ИЗ ИСТОРИИ ДВГМУ старшего лаборанта до доктора медицинских наук, профессора, заслуженного деятеля науки РФ. В 1968–1972 гг. был проректором по научной рабоXVIII выпуск врачей те. Затем три года работал в ВОЗ. За успехи в подготовке медицинских кадров высшей квалификации (д.м.н. Хабаровского государственного и к.м.н.) и в охране здоровья (написано 16 научно-популярных книг и брошюр, в которых разрабатывались проблемы здорового образа жизни) профессор А. А. медицинского института Константинов в...»

«УТВЕРЖДАЮ Заместитель Министра образования Российской Федерации _ В.Д. Шадриков 10 марта 2000 г. Номер государственной регистрации 86 ЕН / СП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 012300 БИОХИМИЯ Квалификация – БИОХИМИК По специальности 012300 БИОХИМИЯ Вводится с момента утверждения Москва, 2000 2 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 012300 БИОХИМИЯ 1.1. Специальность утверждена приказом Министерством образования Российской Федерации от...»

«Кафедра _Общей и неорганической химии Одобрена: Утверждаю кафедрой _ОиНХ_ Декан _инженерго-экологического_ факультета Протокол от19.05.2010_г. № 9 Зав кафедрой Середа Б.П._ Василенко Л.В. Ф,И,О,, ПОДПИСЬ Методической комиссией _ 2010 г. Факультета направления Протокол от 2010_ г. № Председатель _Литвинец Ю.И. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление 280200 – Защита окружающей среды Специальность 280202 – Инженерная защита окружающей среды (очная форма) 280201 – Охрана окружающей среды и...»

«ОСНОВЫ БИОТЕХНОЛОГИИ Астана, 2006 ББК 30.16 А51 Алмагамбегов К.Х. М51 Основы биотехнологии: Астана, 2006. Стр. 200. ISBN 9965-25-582-2 Рецензенты: д.б.н., проф. Жубанова А.А., д.б.н., проф. Валиханова Г.Ж., д.б.н., проф. Иващенко А.Т.,д.б.н., проф. Абиев С. А., д.б.н. Жамбакин К.Ж. Книга содержитобщиесведения о трехобъектах биотехнологии микробных, растительных и животных организмах. Д ля специалистов, работающих в области биотехнологии, студентов, аспирантов, преподавателей. МШ шэ С.Торайгыроа...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.