WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |

«И. А. Котельников, В. С. Черкасский Скин-эффект в задачах Электронный учебник Новосибирск 2013 Аннотация. Электронный учебник содержит широкий круг задач с решениями, ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Кафедра общей физики

И. А. Котельников, В. С. Черкасский

Скин-эффект в задачах

Электронный учебник

Новосибирск

2013

Аннотация. Электронный учебник содержит широкий круг задач с решениями, посвящённых скин-эффекту. В учебник входят как стандартные задачи о скин-эффекте в различных геометриях (шар, цилиндр, полуплоскость), так и оригинальные задачи, впервые решённые авторами: нестационарный скинэффект, экранирование электрического и магнитного полей, скин-эффект в трубах со щелями. Учебник снабжён динамическими интерактивными иллюстрациями, которые помогают студенту самостоятельно экспериментировать с параметрами задачи и наблюдать возникающие при этом эффекты. Динамические иллюстрации реализованы с помощью бесплатного приложения CDFPlayer, разработанного корпорацией Wolfram Research Inc.. CDFPlayer позволяет визуализировать решения задач, построенные с помощью коммерческого пакета Mathematica той же корпорации, без использования самого пакета.

Электронный учебник разработан в рамках реализации Программы развития НИУ НГУ на 2009-2018 годы.

Рецензент: доцент С.Л. Синицкий Оглавление 5 Предисловие Глава 7 Токи Фуко и скин-эффект 1 Основные уравнения 2 Непроводящая среда 3 Начальная задача 4 Граничная задача 5 Скиновое приближение Глава 12 Стационарный скин-эффект 1 Скин-эффект на плоской границе 2 Скин-эффект в цилиндре 3 Скин-эффект в шаре Глава 49 Экранирование переменного магнитного поля 1 Продольное магнитное поле 2 Поперечное магнитное поле 3 Экран с разрезом Глава 67 Нестационарный скин-эффект 1 Автомодельное решение 2 Метод преобразования Лапласа Глава 75 Заключение Благодарности Глава A 77 Полезные математические формулы 1 Вычисление среднего от гармонических функций 78 Литература Предисловие Скин-эффект имеет важные приложения во многих разделах физики и техники, поэтому его изучение входит в обязательную программу обучения студентов физических и технических специальностей университетов. На физическом факультете Новосибирского государственного университета (НГУ) эффект скинирования электромагнитного поля в проводящей среде кратко рассматривается в курсе Электричество и магнетизм [1], содержание которого приблизительно соответствует монографии Электромагнитное поле И.Н.

Мешкова и Б.В. Чирикова [2].

Существует множество монографий и учебников, где явление скинирования рассматривается с той или иной степенью полноты. Весьма подробно классический скин-эффект описан в учебниках И.Е. Тамма [3], А. Зоммерфельда [4], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [5] в разделах, посвящённых квазистационарным явлениям.

Более краткое изложение содержат классические университетские курсы физики А.Н. Матвеева [6] и Д.В. Сивухина [7]. Авторы этих и других подобных учебников обычно ограничиваются только задачей о распределении переменного тока в проводящем полупространстве либо в цилиндрическом проводнике. Далее на основе решения этой задачи рассматривается выделение джоулева тепла в проводнике, вычисляется комплексное сопротивление и т.п.

Важным дополнением к перечисленным учебникам являются сборники задач по классической электродинамике. Среди них следует выделить уникальное издание книги В. Смайта [8], давно ставшее библиографической редкостью, а также сборник задач В.В. Батыгина и И.Н. Топтыгина [9], по которому учились несколько поколений российских физиков. Большая часть задач, которые решены в этих сборниках, требуют высокого уровня владения методами математической физики, которые традиционно читаются уже после курса общей физики практически во всех вузах. В частности, авторы указанных сборников часто сначала приводят строгое математическое решение базовой задачи в общем случае, а для физически интересных предельных случаев сильного и слабого скин-эффекта приводят лишь ответы, которые получаются из асимптотик точных решений.

Исключение составляет сборник задач [10], отражающий опыт преподавания курса электродинамики НГУ, где методическое руководство семинарскими занятиями много лет осуществлял профессор Генрий Викторович Меледин. В этом сборнике объединены качественное рассмотрение явлений, характерное для курса общей физики, и строгий подход математической физики.

В данном электронном учебном пособии мы собрали задачи, посвящённые скин-эффекту. Часть из них заимствована из перечисленных выше источников, а также из статьи [11] В.В. Бажановой, Г.В. Меледина и Ю.И. Эйдельмана. Некоторые задачи впервые решены авторами данного пособия. В первую очередь это относится к задачам об экранировании квазистатических полей тонкостенными проводящими экранами. Мы попытались соединить достоинства упомянутых выше сборников задач [8, 9, 10], подробно изложив как точные решения, в тех случаях, когда они известны, так и детально описав методы решения задач в предельных случаях слабого и сильного скинэффектов. Кроме этого, мы воспользовались преимуществами электронного формата учебного пособия, чтобы дополнить письменное описание хода решения компьютерными интерактивными моделями. Они особенно полезны для визуализации сложных математических выражений, которые содержат спецфункции комплексного аргумента. Такие модели также удобны для сравнения точных и приближённых решений и для выработки у студентов наглядных представлений о поведении многопараметрических зависимостей.



При разработке интерактивных моделей мы использовали систему компьютерных вычислений Mathematica версии 9. Она позволяет создать CDF файлы, которые можно проигрывать при помощи свободно распространяемого приложения CDFPlayer, которое можно загрузить с сайта его производителя, корпорации Wolfram. Гиперссылки на разработанные интерактивные модели внедрены непосредственно в данный PDF файл, который представляет собой корневой модуль учебного пособия. Для его просмотра мы рекомендуем использовать бесплатно распространяемую программу Adobe Reader.

Существуют также другие свободно распространяемые вьюеры PDF файлов, например Foxit Reader.

Для правильной работы гиперссылок в тексте корневого модуля каталог вспомогательных файлов Demo должен быть скопирован на компьютер пользователя рядом данным PDF файлом. Для удобства читателя ссылки на интерактивные модули приводятся в двух вариантах, так как приложение CDF Player можно можно запустить в собственном окне либо в окне веб-браузера.

Во втором случае сначала будет выполнена проверка наличия проигрывателя CDF файлов на компьютере пользователя и предложено установить CDF Player, если это не было сделано ранее.

Глава Токи Фуко и скин-эффект Постоянное электрическое поле в проводнике может существовать только при наличии тока, который поддерживается внешним источником электродвижущей силы (Э.Д.С.) Как следует из закона Фарадея1 (Michael Faraday) источником Э.Д.С. может служить изменение магнитного потока которое порождает вихревое электрическое поле E. Вихревое электрическое поле в проводящей среде приводит к появлению электрических токов, которые носят название токов Фуко (Leon Foucault).

Токи Фуко экранируют переменное магнитное поле так, что оно не проникает вглубь проводника. Однако токи Фуко не могут экранировать статическое магнитное поле, так как из-за омического сопротивления они не могут существовать вечно. Статическое магнитное поле свободно проникает в проводник. Однако чем быстрее изменяется поле, тем на меньшую глубину оно проникает в проводник. В хороших проводниках, где омические потери малы, Если при нажатии на ссылку Вам не удалось перейти на соответствующую ссылку, попробуйте стоящую рядом английскую ссылку, а потом выберите из предложенного в Wikipedii списка русский язык.

уменьшение глубины проникновения поля становится заметным при весьма умеренных частотах. Это явление называют скин-эффектом. Происхождение термина связано со словом skin, которое в переводе с английского означает кожу.

1. Основные уравнения Получим уравнения, описывающие скин-эффект. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла (James Clerk Maxwell) В среде с заданными и постоянными диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью µ векторы индукции D и B электрического и магнитного полей связаны с напряжённостями этих полей E и H простейшими материальными уравнениями Относительно плотности тока j предположим, что она пропорциональна E с постоянным коэффициентом проводимости :

Плотность свободных зарядов далее будем считать равной нулю.

Возьмём ротор от третьего из уравнений (1.4):

В его левой части воспользуемся векторным тождеством и учтём, что div H = div B/µ = 0. В правой части учтём, что и исключим rot E с помощью первого уравнения (1.4). В результате получим уравнения для напряжённости магнитного поля H:

2. Непроводящая среда В случае непроводящей среды (когда = 0) первое слагаемое в его правой части (1.8) равно нулю и мы приходим к волновому уравнению Как известно, волновое уравнение имеет решение в виде плоской монохроматической волны с волновым вектором k и частотой. Подставляя (1.10) в (1.9), немедленно находим дисперсионное соотношение а из уравнения div H = 0 заключаем, что Нетрудно проверить, что и k · E = 0, если = 0; следовательно, плоская монохроматическая волна поперечна.

3. Начальная задача Рассмотрим эволюцию начального состояния поля с заданным k в среде с произвольной проводимостью. Подстановка (1.10) в (1.8) приводит к дисперсионному уравнению Решая его относительно, получим В плохо проводящей среде, при ck/2 µ/, магнитное поле затухает с характерным временем терных времени затухания Аналогичным образом можно получить уравнение для электрического поля в среде, которое имеет вид, идентичный (1.8) Следовательно, электрическое поле затухает так же, как и магнитное.

4. Граничная задача Рассмотрим теперь так называемую граничную задачу. Пусть на границу проводящей среды падает электромагнитная волна заданной частоты. Такая волна будет затухать по направлению вглубь проводящей среды. Теперь в уравнении (1.11) частоту следует считать заданной вещественной величиной, а находить следует волновое число k:

Мнимая часть Im(k) волнового числа характеризует глубину проникновения переменного электромагнитного поля в проводящую среду.

В среде с плохой проводимостью, где 4, В обратном предельном случае используя тождество 2i = (1 + i)2 = 1 + i, получаем где Для промышленной частоты 50 Гц ( = 6 000 км) толщина скин-слоя в меди 1 см, а в радиодиапазоне ( = 600 м) 0,1 мм.

5. Скиновое приближение Говоря о скин-эффекте обычно имеют ввиду случай сильной проводимости (4 ). Далее мы так и будем делать, подразумевая, что формула (1.16), а не (1.13) определяет толщину скин-слоя. Заметим, что в этом случае можно пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения (1.8). Полученное в результате такого упрощения уравнение очень похоже на уравнение диффузии которое возникает в задаче о броуновском движении. Аналогичное уравнение возникает в задаче теплопроводности, которое впервые было изучено французским физиком и математиком Фурье (фр. Jean Baptiste Joseph Fourier), который разработал специальный метод решения этого уравнения путём разложения искомой функции в ряд Фурье. Величины D и называются соответственно коэффициентами диффузии и температуропроводности. Ввиду указанной аналогии коэффициент в уравнении (1.17) иногда называют коэффициентом магнитной диффузии.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |