WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |

«Предисловие В поисках оснований Введение Логика и формальная математика Глава 1 Физическая математика Глава 2 Основания физической теории Глава 3 Принцип золотого ...»

-- [ Страница 1 ] --

Гостевая Монография Книга Новая ФМК Статьи Форум

Предисловие

В поисках оснований

Введение

Логика и формальная математика

Глава 1

Физическая математика

Глава 2

Основания физической теории

Глава 3

Принцип золотого сечения

Глава 4

Принцип золотого сечения (продолжение)

Глава 5

Обобщенная теория золотой пропорции Глава 6 Великая константа физики Глава 7 Великая константа физики (окончание) Глава 8 Экстремальные величины. Обобщенные физические законы Глава 9 Теория ЛМФ и ее приложения (в тезисной форме) Заключение Дополнение 1 Почему 2? Об изяществе и простоте физических уравнений и формул Дополнение 2 Четыре беседы с читателем Словарь-указатель терминов, условных обозначений и сокращений Приложение Abstract Глава Принцип золотого сечения (продолжение) Статистика чисел Fn, закон Бенфорда и логарифм 5.1.

5.2. Феномен первого знака и числа Фибоначчи 5.3. Принцип золотого сечения в космологии. Додекаэдр Система счисления с основанием. Модулор 5.4.

5.5. “Золотая” пестрая смесь 5.6. Принцип золотой пропорции и ядра атомов 5.7. Принцип золотой пропорции в математике 5.8. Числа 5 и 10 в золотом сечении 5.1. Статистика чисел Fn, закон Бенфорда и логарифм В продолжение темы связи числа с материнскими функциями е х и ln х, рассмотрим интригующую математическую проблему, интерес к которой в последнее время заметно возрос.

Она носит название закона Бенфорда, или феномена первого знака, или проблемы начальной цифры, и непосредственно затрагивает проблему равноправия знаков, посредством которых осуществляется представление чисел.

Вспомним вначале сказанное в 4.3 о коренном различии в представлении чисел с помощью цепных и десятичных дробей.

В n-ичных, в частности десятичных дробях в отличие от цепных обычно реализуется принцип числового равенства, то есть соблюдается закон случайного распределения чисел, обеспечивающий равное в пределах допустимой статистической погрешности представительство всех знаков. Тогда в качестве примера мы ссылались на статистику первых шестисот миллиардов и триллиона двухсот миллиардов десятичных знаков числа.

Сейчас для полной ясности дадим ее в явном виде с указанием отклонений (в процентах) от среднего значения равного 60 000 000 000 в первом и 120 000 000 000 во втором случае [Kanada].

Таблица 5.1. Статистика десятичных знаков числа Количество вхождений и отклонения (в процентах) Цифра для 600 000 000 000 знаков для 1 200 000 000 000 знаков 59 999 788 154 – 0,000 353 119 999 636 735 – 0, 60 000 115 765 + 0,000 193 120 000 035 569 + 0, 60 000 334 158 + 0,000 557 120 000 620 567 + 0, 59 999 987 729 – 0,000 020 119 999 716 885 – 0, Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) 60 000 131 060 + 0,000 218 120 000 114 112 + 0, 59 999 819 211 – 0,000 301 119 999 710 206 – 0, 59 999 887 855 – 0,000 187 119 999 941 333 – 0, 59 999 770 829 – 0,000 382 119 999 740 505 – 0, 60 000 439 514 + 0,000 733 120 000 830 484 + 0, 59 999 725 725 – 0,000 457 119 999 653 604 – 0, В не показанном здесь случае шести миллиардов знаков среднее отклонение в процентах составляет 0,0031% по абсолютной величине; с увеличением количества знаков в сто раз этот показатель уменьшается примерно в десять раз до 0,000 34%, а с увеличением еще в два раза он падает до 0,000 27%. Такая статистика говорит сама за себя: закон случайного распределения чисел соблюдается здесь с образцовой точностью, кстати вопреки некоторым утверждениям и прогнозам, которые делались когда были известны не миллиарды, а лишь тысячи десятичных знаков числа. Увеличение точности поставило всё на свои места и сейчас десятичная дробь числа может использоваться в качестве генератора случайных чисел.

Займемся теперь интересующим нас числовым множеством {Fn }. Для получения статистически надежных данных нужны, конечно, большие числа и желательно, чтобы они были удобными для обозрения. В формуле Бине с увеличением показателя степени n второе слагаемое стремится к нулю, числитель первого слагаемого всё меньше отличается от целого числа, а десятичный логарифм lg 5 0, меньше 1/2. Отсюда следует формула для общего количества десятичных знаков N(F n ) числа Fn, где R(х) функция округления. Для каждого из десяти знаков j = 0, 1, …, 9 имеем Это дает нам возможность подобрать “удобное” число F4 784 972, количество десятичных знаков N(F n ) для которого в точности равно одному миллиону. Кроме того, для большей полноты и определения динамики изменения возьмем три других числа поменьше: дважды выделенное F10 946 (10 946 = F21 ), F100 000 и F1 000 000. Технические детали несущественны, поэтому приведем лишь конечные результаты по десяти знакам десятичного представления, взяв за критерий оценки среднее и максимальное отклонения (в процентах) от статистически среднего значения.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Тенденция приближения к теоретическому идеалу (5.1.2) с увеличением номера n вполне очевидна. Остается подтвердить ее на примере последнего, самого большого и “удобного” числа F4 784 972, представив его наподобие числа.

Максимальное отклонение равно 0,652, среднее равно 0,2228 и можно уже делать общий частота вхождения знаков 0, 1, …, 9 стремится ко всё более точному соответствию с законом их равнораспределения. Этот интуитивно ожидаемый с самого начала вывод легко обобщить на случай системы счисления с любым основанием а = 2, 3, 4, … В формуле (5.1.2) надо только заменить основание позиционной системы счисления 10 на а и тогда частота вхождения для каждого из а знаков определится по формуле которую можно записать через натуральный логарифм:

Изменив задачу, рассмотрим теперь статистику не всех, а лишь начальных знаков членов ряда Фибоначчи. Ограничимся вначале первыми ста числами Fn.

Картина здесь резко отличается от ранее рассмотренной. В тридцати (!) случаях из ста число Фибоначчи начинается с 1 и лишь в четырех (?) – с 9. Очень большие отклонения от предпиМонография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) сываемого законом случайного распределения чисел среднего значения 100/9 11 бросаются в глаза. Обращает на себя внимание и почти неуклонное убывание частоты с увеличением цифр от 1 до 9. Поразительно, но подобная закономерность, впервые замеченная в конце XIX в [Newcomb S.], забытая, а потом заново открытая в конце тридцатых годов XX в. [Benford], имеет достаточно общий характер. Современная история этого закона началась… с подмеченной потертости таблиц логарифмов. Перелистывая книгу, Бенфорд заметил, что страницы, на которых стоят логарифмы чисел, начинающихся с единицы, замусолены больше остальных.

Тогда он подверг статистическому анализу более 20 000 чисел, относящихся к самым разным наборам величин, – квадратные корни n (5000 чисел), константы (104), атомные веса (91), молекулярные веса (1800), площади бассейнов рек (335), результаты бейсбольных матчей (1458), номера домов из справочника (342 числа) и т.д. и т.п., всего 20 наборов в среднем по 1011 величин в каждом. Усредненная по всем наборам таблица частот встречаемости (в процентах) девяти цифр имеет следующий вид:

Было высказано предположение, что вероятность (относительная частота) появления на первом месте десятичного знака q (q = 1, 2, …, 9) определяется по формуле Следовательно, идеальное распределение вероятностей (в процентах) должно подчиняться логарифмическому закону.

Сравнение этих частот с данными Бенфорда показывает, что минимальное относительное отклонение min 0,75% (для q = 3), максимальное max 12% (для q = 7), а в среднем для девяти цифр 3,9 %. Такое соответствие нельзя признать случайным, но на этом этапе обсуждения неизбежно возникают вопросы.

а) Для получения статистически корректных выводов необходимы наборы, состоящие если не из бесконечного, то во всяком случае достаточно большого числа данных. Между тем ни один из рассмотренных Бенфордом наборов величин, как и усредняемая определенным Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) образом их совокупность, не говоря уж о множестве первых ста чисел Fn, не совсем или совсем не удовлетворяет этому требованию. Вывод о соответствии логарифмическому закону больше похож на гипотезу, полученную на основе неполной индукции, чем на солидный статистический закон. А неполная индукция (не путать с индукцией математической, по сути дедуктивным принципом) при всей своей привлекательности и продуктивности – неиссякаемый источник всевозможных заблуждений и ошибок. Например, тезис “бльшая часть нечетных чисел – простые” подтверждается для первых десяти, двадцати, даже девяноста чисел натурального ряда, но ошибочен в целом. Так можно ли ставить рядом со статистическим законом, подтверждаемым на примере более чем триллиона знаков великой константы и миллиона знаков числа F4 784 972, полуэмпирический закон, апеллирующий к разнородной и крайне ограниченной базе данных? Насколько универсален феномен первого знака, каковы пределы его применимости?

б) Многие наборы составлены из размерных величин, численные значения которых зависят от выбора единиц измерения, самого по себе произвольного и исторически случайного.

Меняя единицы измерения, можно получить совсем другое число, начинающееся с другой цифры. Даже если допустить, что закон Бенфорда верен для какого-то множества размерных величин, не перестанет ли он быть таковым при изменении единиц измерения?

в) Все без исключения наборы величин записаны в десятичной системе счисления, которая теоретически не имеет преимуществ перед какой-либо другой системой счисления с основанием а, притом не обязательно целым. А запись любого числа за исключением 0 зависит, вообще говоря, от выбора системы счисления. Если принять, что закон первого знака действительно выполняется в определенных случаях, имеет ли, спрашивается, при этом место и “закон сохранения закона Бенфорда”? Точнее, является ли данный закон инвариантом относительно перехода от одной системы счисления к другой?

Исследования недавнего прошлого [Flehinger; Raimi 1969; 1976; Barlow and Bareiss;

Schatte], относящиеся к числам и Фибоначчи и Люка [Washington], исследования последнего времени [Boyle; Ley; Nigrini], но особенно работы [Hill 1995; 1996; 1998] во многом проясняют ситуацию и позволяют ответить на некоторые вопросы. Но давать однозначные оценки по-прежнему не всегда возможно, и не случайно, что закон Бенфорда всё еще нередко характеризуется эпитетом “таинственный”. В любом случае феномен первого знака отмечен лишь для естественных числовых наборов. Это необходимое условие справедливости закона Бенфорда. Что касается размерности величины, то насколько можно судить заметной роли она не играет. Неважно, будем ли мы измерять площадь страны в квадратных километрах или в квадратных милях: с изменением размерности меняются, конечно, все числа, но статистика распределения первого знака существенно не меняется. Одним из основополагающих принципов статистики и теории вероятностей является закон больших чисел, предполагающий большое число испытаний, приводящее к нивелировке случайных факторов. В свете этого можно ожидать, что с увеличением элементов испытуемого набора распределение всё точнее будет соответствовать формуле (5.1.3). Однако в большинстве случаев, если речь идет, скажем, о населении или площади стран, возможностей для этого практически нет.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
 


Похожие работы:

«Программа вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплине Физическая география и ландшафты и Экономическая и социальная география России, для поступающих на направление подготовки магистратуры 05.04.02 – География Физическая география и ландшафты России Объект и предмет региональной физической географии. Факторы пространственной физико-географической дифференциации и формирование ПТК регионального уровня. Природные компоненты и природные территориальные комплексы (ПТК)....»

«ОГОНЬ ОГНЕЙ СИЯЕТ ВНОВЬ Место центра Вселенной, по праву возвращенное Луне, позволило киевлянину Олегу Ермакову осуществить сокровенную мечту человечества — создать Теорию Всего — Вы написали такую огромную книгу о системе мира и ни разу не упомянули о его Творце! — Сир, я не нуждался в этой гипотезе. Диалог Наполеона и Лапласа Было бы поистине чудом, если бы человек сумел открыть общую основу всех наук — физики, биологии, психологии, социологии и др. Мы стремимся к такой цели, хотя и можем...»

«Восточная дюжина 2010 Восточные ворота Москвы. Территория восходящего солнца. Хранилище российской истории. Лёгкие столицы. У Восточного округа немало поэтических определений, которые дают ему москвичи. Не стали исключением и мы, жители и те, кто работает на территории Восточного административного округа, решив взглянуть на него глазами любознательных путешественников, исследователей — истинных искателей настоящих жемчужин, щедро рассыпанных временем по дорогам эпох. Книга, которую вы сейчас...»

«Дубна, 2009 1 Оглавление 1. Крестьянский сын. 3 2. Война.. 7 3. Школа.. 13 4. Почему я не стал артистом. 25 5. Как стать физиком. 34 6. Детский сад №7. 40 7. В Копенгаген, для получения европейского лоска 7.1. Спиной к коллективу. 52 7.2. Париж, Париж! 7.3. Я еду в Копенгаген! 7.4. Вам привет от Владимира Павловича. 96 8. Ира 8.1. Я влюбился. 100 8.2. Хухаревы. 105 8.3. Каганы.. 110 8.4. По городам, весям и между ними 8.4.1. Сон в палатке – лучший отдых. 121 8.4.2. Куда бы еще съездить. 126...»

«Александров А. Ф. А 46 Тайны магических цифр. — М.: РИПОЛ КЛАССИК, 2000.— 448 с. Серия Все загадки Земли Почему Владимир Путин победил на выборах? Что объединяет Петра I, Екатерину II и Бориса Ельцина? Каково истинное лицо Нострадамуса и что пророчествовал монах Авель? Почему были украдены скрипки Стра­ дивари? Что поведал папирус о сотворении мира? Как на самом деле по­ гиб крейсер Варяг? Могли ли быть иными исходы Ледового побоища и битвы на Курской дуге?. Простые вычисления приведут вас,...»

«Во второй четверти X I X в. в русской литературе с л о ж и л с я вполне определенный, много­ гранный образ Германии. Вспомним, что, возвратившись из Германии туманной в родное Красногорье, Владимир Л е н с к и й привез... учености плоды: вольнолюбивые мечты, дух п ы л к и й и довольно странный, 1 поклонение К а н т у и душу, воспламененную поэтическим огнем Ш и л л е р а и Гете. Г е р м а н и я воспринималась образованными русскими людьми к а к страна поэтов-мечтателей, противопостав­ л я...»

«КОСМОЛОГИЯ, ФИЗИКА, КУЛЬТУРА Москва 2011 УДК 523.11 ББК 22.632 К 71 Редколлегия: доктор филос. наук В.В. Казютинский (ответственный редактор), доктор филос. наук Е.А. Мамчур, доктор филос. наук А.Д. Панов Рецензенты доктор филос. наук В.М. Найдыш доктор филос. наук В.М. Розин Космология, физика, культура [Текст] / Рос. акад. наук, Ин-т К 71 философии ; Отв. ред. В.В. Казютинский. – М. : ИФРАН, 2011. – 243 с. ; 20 см. – Библиогр. в примеч. – 500 экз. – ISBN 978-5-9540-0204-1. Становление научной...»

«Эфирная среда и универсум Апатиты 2004 Ф.Ф. Горбацевич Посвящается светлой памяти Феликса Иосифовича Горбацевича Эфирная среда и универсум Апатиты 2004 Издание осуществлено на средства автора Ф.Ф. Горбацевич Эфирная среда и универсум. Моногр. – Санкт-Петербург: Изд-во АЛЬФА ШТАМП, 2004. 112 с., илл. Излагается место и роль эфира в универсуме. Эфир представляется как всепроникающая среда, состоящая из частиц двух равных, но противоположных по знаку, видов. Эфир обладает определенными...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.