WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«ПЛЯШЕЧНИК АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Специальность 01.01.01 Вещественный, ...»

-- [ Страница 1 ] --

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

ПЛЯШЕЧНИК АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01

Вещественный, комплексный и функциональный анализ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Смолянов Олег Георгиевич Москва 2013 Оглавление Введение 1 Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова 2 Параболические уравнения 2.1 Постановка задачи.......................... 2.2 Приближающие операторы..................... 2.3 Формула Фейнмана для автономного случая........... 2.4 Формула Фейнмана в общем случае................ 2.5 Уравнения на римановых многообразиях............. 3 Уравнения типа Шредингера 3.1 Постановка задачи.......................... 3.2 Одномерный случай......................... 3.3 Приближающие операторы..................... 3.4 Формула Фейнмана.......................... Литература Введение В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Трумена [15] такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана.

В лагранжевых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона [17] при помощи теоремы Троттера. В гамильтоновых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе [15], где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца.

Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций(траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой теории поля (см., например, книги С. Вайнберга [13], М.Е. Пескина и Д.В.

Шредера [14]).

Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были получены самим Р. Фейнманом [12] (опиравшимся на одно наблюдение П.А.М.

Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа;

многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова [21] и [22].

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова [5] и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вйцзеккера а и О. Виттиха [4]. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.

Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по типу соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.

Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности полученного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а решение исходного уравнения представляется как интеграл по этой мере. Такое представление называется формулой Фейнмана-Каца. Хотя такой способ и дает точное представление решения, в случае переменных коэффициентов переходные вероятности соответствующего случайного процесса не выражаются через элементарные функции; поэтому на формулы Фейнмана можно смотреть как на применимый для практических вычислений способ приближенного нахождения таких интегралов по бесконечномерному пространству.

Уравнениям типа Шредингера также соответствует интегралы по траекториям; именно они и были введены Фейнманом [12]. Интегрирование в них производится по псевдомере, которая имеет локально неограниченную вариацию; однако свойства таких интегралов во многом схожи со свойствами обычных интегралов. Здесь снова интеграл по траекториям дает точное представление решения, а формулы Фейнмана представляют собой применимый для компьютерных вычислений способ его нахождения.

Перечислим теперь несколько сравнительно недавних результатов о формулах Фейнмана и Фейнмана-Каца, полученных методами, близкими к используемым в диссертации. В работе О.О. Обрезкова [20] рассматривается уравнение типа теплопроводности на компактном римановом многообразии без границы, где старшая часть дифференциального оператора является оператором Лапласа-Бельтрами. В ней также доказаны формулы ФенйнманаКаца и явно выражена плотность полученной меры относительно меры Винера в терминах геометрических характеристик многообразия. Уравнения типа теплопроводности и Шредингера с оператором Владимирова, являющимся аналогом оператора Лапласа в p-адическом пространстве, с переменным множителем рассмотрены в работе О.Г. Смолянова и Н.Н. Шамарова [23]. Формулы Фейнмана для операторов на разветвленных многообразиях изучаются в работе О.Г. Смолянова и Д.С. Толстыги [24]. В работе А. Трумена и О.Г. Смолянова [10] изучаются формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченной области. Применение формул Фейнмана для решения уравнения Шредингера в бесконечномерном пространстве изучается в работах О.Г. Смолянова [7]; С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А. Хренникова [8]; О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [9]. Отметим также пионерскую книгу В.П. Маслова [1], в которой для получения формул типа Фейнмана-Каца используются не формулы Фейнмана, а разложение типа Дайсона, а также книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [11], в которой систематически рассматриваются еще несколько методов получения формул Фейнмана-Каца.

В отличие от перечисленных работ, в диссертации коэффициенты в уравнениях зависят как от пространственных координат, так и от времени; при этом соответствующие операторы могут быть не самосопряженными и даже не симметричными. Кроме того, в диссертации используется более широкий набор функциональных пространств.

При доказательстве результатов диссертации используется обобщение формулы Чернова [16], его доказательство также приведено в диссертации.

Это обобщение было анонсировано в статье [18]. Формула Чернова представляет собой обобщение формулы Троттера, с помощью которой в указанной ранее работе Е. Нельсона [17] были впервые доказаны результаты, связанные с формулами Фейнмана. Формула Чернова дает способ приближенного представления сильно непрерывной полугруппы операторов в банаховом пространстве, а при достаточно общих условиях решения эволюционных уравнений выражаются именно через такие полугруппы в различных функциональных пространствах. Мы будем использовать обобщение формулы Чернова на случай, когда операторы зависят от времени. В этом случае полугруппа заменяется на двухпараметрическое эволюционное семейство.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа теплопроводности.

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа Шредингера.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе формулируются необходимые определения и вспомогательные утверждения, а также доказывается обобщенная теорема Чернова.

Во второй главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений параболического типа. Здесь получены следующие результаты.

Пусть H(t) - семейство операторов в пространстве X (его свойства описываются ниже), задаваемое формулой При некоторых условиях оно порождает соответствующую эволюционную систему U (t, s). Определим операторы Тогда где предел понимается в смысле сильной сходимости. Эта формула справедлива в пространствах Lp (Rn )1p, а если коэффициенты не зависят от t, то и в пространствах L1 (Rn ) и C0 (Rn ).

Пусть теперь N - риманово многообразие без края, изометрически вложенное в риманово многообразие M. Пусть b(x) - векторное поле на N и a(x), c(x) - скалярные функции на N. Рассмотрим оператор где N - оператор Лапласа-Бельтрами на N. В этом случае F3 остается без изменений, F2 соответствует сдвигу вдоль траекторий b(x), а в качестве F рассматриваюся два различных варианта:

где U (x) - –окрестность точки x в многообразии N, а в качестве dM,N можно выбрать dN - расстояние в N или dM - расстояние в M. Тогда будет справедлива аналогичная формула где U M,N (t, s) порождается оператором H M,N, в котором к c(x) добавлена некоторая функция, выражаемая через геометрические характеристики многообразий и их вложения, своя для каждого способа выбора F1.

В третьей главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений типа Шредингера. Рассматриваются операторы Операторы F2 (t, s) и F3 (t, s) имеют тот же вид, что и в предыдущей главе, а F1 (t, s) имеет вид имеет место формула для порожденного оператором H(t) эволюционного семейства U (t, s), справедливая в пространстве L2 (Rn ).

В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

Глава Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова В этом разделе будет доказана обобщенная теорема Чернова, а также ряд вспомогательных утверждений.

Рассмотрим некоторое банахово пространство X над полем действительных или комплексных чисел.

Определение 1. Однопараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {T (t), t 0}, действующих в X, называется сильно непрерывной полугруппой, если 1. T (t)T (s) = T (t + s).

2. t T (t) сильно непрерывно.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
 


Похожие работы:

«Содержание Вступительная статья 1 Институт физики металлов 5 Аналитический отчет о XII Всероссийской молодежной школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества, 2011 год 7 Лекции 11 Технологии получения современных лекарственных препаратов: органический синтез и датчики контроля, Артемьев ГЛ., Волосников Д.В 13 Калибровочная теория стеклования, Васин М.Г. 14 Исследование нелинейной прецессии намагниченности в перпендикулярно намагниченной пластине в условиях...»

«И.Ю. ГРИВАНОВ О.В. ГРИВАНОВА С.М. ГРИВАНОВА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ Учебно-практическое пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2010 ББК 68.9 Г 82 Рецензенты: Н.Г. Шкабарня, д-р техн. наук, профессор кафедры геофизики и геоэкологии ДВГТУ; Б.Е. Ламаш, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой метеорологии, климатологии и охраны атмосферы ДВГУ Гриванов, И.Ю., Гриванова, О.В., Гриванова, С.М. Г 82 БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ [Текст]: учебно-практическое пособие. – Владивосток: Изд-во...»

«ФИЗИКА НЕВОЗМОЖНОГО Michio Kaku PHYSICS OF THE IMPOSSIBLE A Scientific Exploration into the World of Phasers, Force Fields, Teleportation, and Time Travel Doubleday New York London Toronto Sydney Auckland Митио Каку ФИЗИКА НЕВОЗМОЖНОГО Перевод с английского 2-е издание Москва 2010 Содержание ВВЕДЕНИЕ..................................... 7 БЛАГОДАРНОСТИ..............................19 ЧАСТЬ I. НЕВОЗМОЖНОСТИ I КЛАССА 1. ЗАЩИТНОЕ...»

«ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ЦЕНТРА УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ МОСКВА • МАШИНОСТРОЕНИЕ • 2009 Научное издание ЧИЧЁВ Сергей Иванович КАЛИНИН Вячеслав Федорович ГЛИНКИН Евгений Иванович ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ЦЕНТРА УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Редактор Т.М. Г л и н к и н а Инженер по компьютерному макетированию М.А. Ф и л а т о в а Сдано в набор 01.10.2009. Подписано в печать 30.11.2009 Формат 60 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman Печать офсетная. Усл....»

«Физика в вопросах и ответах Ученые новосибирского Академгородка отвечают на вопросы старшеклассников Под редакцией В.И.Шелеста Новосибирск 1999 Составители: Е.М.Балдин, П.В.Воробьев, И.Ф.Гинзбург, И.П.Иванов, Н.А.Кириченко, М.Г.Степанов, В.С.Потеряев, И.Б.Хриплович, В.И.Шелест, Н.И.Яворский Под общей редакцией В.И.Шелеста Технический редактор: Л.Б.Куртова Рецензент: В.Г.Харитонов Книга содержит ответы на более чем 90 вопросов, наиболее часто задаваемых старшеклассниками средних школ. Вопросы...»

«Лекция №4 Статическая физика и термодинамика План 1) Статистическая физика и термодинамика 4) Изопроцессы 2) Молекулярная физика a) Изохорный процесс a) Идеальный газ b) Изобарный процесс b) Законы идеального газа c) Изотермический процесс c) Уравнение Клапейрона-Менделеева d) Адиабатический процесс d) Основное уравнение молекулярно-кинетиче- e) Политропный процесс ской теории идеальных газов 5) Обратимые и необратимые процессы 3) Термодинамика a) Энтропия a) Число степеней свободы молекулы b)...»

«От издательства Читатель Апгрейда.[1] должен быть в теме. Помните: Происхождение Вселенной, образование Солнечной системы, формирование планет, зарождение жизни на Земле, эволюция живых организмов, появление человека, возникновение цивилизации. Важнейшие философские вопросы, великие научные открытия и технологические прорывы. Проблемы, кризисы и процессы в современном обществе, прошлое, настоящее и перспективы Человека и человечества.? Последующие произведения Александра Никонова, вошедшие в...»

«Квантовая физика конденсированных сред Программа фундаментальных исследований Президиума РАН Сборник результатов, полученных в 2009 г. АНДРЕЕВ Александр Федорович, вице-президент Российской Председатель академии наук, директор Института физических проблем Научного совета им. П.Л. Капицы РАН ГАНТМАХЕР Всеволод Феликсович, член-корреспондент Заместители Российской академии наук, заведующий отделом Института Председателя физики твердого тела РАН Научного совета ПАРШИН Александр Яковлевич,...»

«Предисловие редактора................................................. 8 Плохо ли быть материалистом?..................................... 8 Должна ли физика бояться метафизики?........................... 10 Метафизика в Метафизике Ю. С. Владимирова................... 12 Предисловие.............................................»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.