WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«Сотсков А.И., Колесник Г.В. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ в примерах и задачах Москва, 2002 Сотсков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах. – М.: ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

NEW ECONOMIC SCHOOL

Сотсков А.И., Колесник Г.В.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

в примерах и задачах

Москва, 2002

Сотсков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах. – М.:

Российская экономическая школа, 2002 – 58 с.

Настоящее пособие знакомит с основными условиями оптимальности и методами решения задач вариационного исчисления и оптимального управления. Будет полезно для подготовки и проведения практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также при выполнении домашних заданий по этой теме студентами.

Sotskov A.I., Kolesnik G.V. Optimal Control: Problems and Solutions. – Moscow, New Economic School, 2002 – 58 p.

This book gives basic information on optimality conditions and solution techniques of variational and optimal control problems. It will be useful for teachers in preparing and conducting of sections on optimal control theory and for students in their self-study.

© Сотсков А.И, Колесник Г.В., 2002 г.

© Российская экономическая школа, 2002 г.

Предисловие Теория оптимального управления является одним из разделов курса "Математика для экономистов", читаемого в Российской экономической школе.

Опыт преподавания показывает, что данный раздел – один из наиболее сложных для освоения. Это прежде всего связано с концептуальными отличиями изучаемых в нем задач оптимального управления от задач конечномерной оптимизации, и, как следствие, с существенным усложнением используемых в них условий оптимальности.

В связи с этим представляется полезным дать наглядную иллюстрацию применения данных условий оптимальности к решению задач различных типов. Настоящее пособие и является попыткой дать такую иллюстрацию. В нем содержатся примеры и задачи по четырем темам:

• вариационному исчислению;

• принципу максимума в задачах без ограничений;

• принципу максимума при наличии фазовых ограничений;

• динамическому программированию.

Каждый раздел состоит из теоретической части, описывающей базовые понятия и результаты, используемые при решении соответствующих задач, примеров с решениями, а также задач для самостоятельной работы студентов.

Следует подчеркнуть, что данное пособие ни в коем случае не является теоретическим курсом, а ориентировано прежде всего на практическое применение методов оптимального управления. В качестве теоретического пособия по данному разделу можно порекомендовать, например, книгу [3].

По мнению авторов, данное пособие будет полезным преподавателям при подготовке и проведении практических занятий по разделу "Оптимальное управление", а также студентам при выполнении домашних заданий по этой теме.

Содержание 1. Простейшая задача вариационного исчисления.

Уравнение Эйлера

Примеры

Упражнения

2. Задача оптимального управления. Принцип максимума

Примеры

Упражнения

3. Фазовые ограничения в задаче оптимального управления

Примеры

Упражнения

4. Динамическое программирование и уравнение Беллмана

Примеры

Упражнения

Литература

1. Простейшая задача вариационного исчисления.

Уравнение Эйлера.

Отображение J: М R1, называется функционалом.

Ниже будем рассматривать следующие пространства функций:

C[t1, t2] – непрерывные на отрезке [t1, t2] функции, с нормой, определенной следующим образом: ||x()||0 = max{ |x(t)|, t[t1, t2]};

C1[t1, t2] – непрерывно-дифференцируемые на отрезке [t1, t2] функции, с нормой ||x()||1 = max{ ||x()||0, ||x'()||0};

Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следующим образом: найти экстремум функционала вида:

на кусочно-гладких функций x(), соединяющих точки (t1, x1) и (t2, x2) (т.е.

удовлетворяющих краевым условиям x(t1) = x1; x(t2) = x2). Функции x(), удовлетворяющие ограничениям задачи (в данном случае граничным условиям), называются допустимыми.

О п р е д е л е н и е. Говорят, что x*() доставляет слабый локальный максимум функционалу J, если 0: для любой допустимой кривой x(), такой, что || x*() – x()||1, выполнено: J(x()) J(x*()).

Говорят, что x*() доставляет сильный локальный максимум функционалу J, если 0: для любой допустимой кривой x(), такой, что || x*() – x()||0, выполнено: J(x()) J(x*()).

Необходимое условие слабого экстремума функционала (1.1) дается уравнением Эйлера:

Гладкое решение уравнения Эйлера называется экстремалью функционала J.

Примеры 1. Найти экстремаль в задаче: J = (t 2 x '+tx '2 )dt ; x(1) = a; x(2) = b.

Р е ш е н и е. F(t, x, x') = t2x' + tx'2, Fx = 0, Fx' = t2 + 2tx'. Составим уравнение Эйлера:

Видно, что в это уравнение не входит х. Обозначим у = x', тогда y' = x'' и уравнение примет вид:

Решением данного уравнения является у(t) = c/t – t/2. Тогда Находя постоянные с и d из краевых условий, окончательно получаем:

Функция x*(t) – гладкая на [1, 2], следовательно, она является экстремалью.

З а м е ч а н и е. В задаче с функционалом J = (t x '+tx ' )dt экстремали отсутствуют, так как решения уравнения Эйлера (1.3) теряют гладкость на отрезке [0, 1].

2. Найти экстремаль и проверить, доставляет ли она слабый минимум в задаче:



Р е ш е н и е. F(t, x, x') = (x'), Fx = 0, Fx' = 2x'. Составим уравнение Эйлера:

Общее решение этого уравнения имеет вид x(t) = ct + d. Из краевых условий окончательно получаем экстремаль x*(t) = t.

Проверим, что она действительно доставляет экстремум функционалу J.

Рассмотрим произвольное приращение h()C1, такое, что h(0) = h(1) = 0, и исследуем, как изменится значение функционала J:

Беря последний интеграл по частям, получим при x() = x*():

Таким образом, получаем, что J(x* + h) J(x*), т.е. x*() доставляет глобальный минимум функционалу J.

3. Найти экстремаль и проверить, доставляет ли она слабый и сильный минимум в задаче:

Р е ш е н и е. F(t, x, x') = x2(1 – x'2), тогда Fx = 2x(1 – x'2), Fx' = –2 x'x2 и Проведем замену переменных: x' = p(x), x'' = px x' = px p. Тогда уравнение преобразуется к виду:

или Одним из его корней является x(t) 0. Ненулевые корни определяются из соотношения:

Проверим, что x(t) 0 доставляет слабый минимум функционалу J.

Действительно, для z()C1[0, ]: ||z()||1 имеем, что t[0, ] |z'(t)|.

Тогда для 1 J(z()) 0, в то время как J(x()) = 0.

Сильный минимум не достигается, так как положив, например, zn(t) = n sin nt, получим J(zn()) = /(2n) – /8 0 при n 4. В то же время, для достаточно больших n функции zn(t) лежат в сколь угодно малой сильной окрестности функции x(t) 0.

Упражнения 1. В задаче показать, что решение уравнения Эйлера существует, единственно, доставляет абсолютный минимум, но не является функцией класса C1.

2. Показать, что в задаче минимизирующую последовательность (если она имеется).

проверить, доставляет ли она слабый минимум:

а). J = t 2 x '2 dt ; x(–1) = –1; x(1) = 1;

б). J = xx ' 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;

в). J = (1 + t )x ' 2 dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;

е). J = 1 + x '2 dt ; x(a) = 0; x(b) = 1.

2. Задача оптимального управления. Принцип максимума.

Пусть имеется некоторая динамическая система, состояние которой в каждый момент времени t описывается вектор-функцией x(t) Rn. На состояние системы можно воздействовать, изменяя управляемые параметры u(t) Ut Rr. Будем рассматривать класс куусочно-непрерывных управлений u(t).

При заданном управлении u(t) состояние системы изменяется во времени согласно закону:

Рассмотрим задачу оптимального управления данной системой:

определить управление u*(t), доставляющее экстремум критерию качества вида:

При этом первое слагаемое (интегральная часть критерия) характеризует качество функционирования системы на всем промежутке управления [t0, t1], тогда как второе слагаемое (терминальный член) – только конечный результат воздействия управления, определяемый начальным x(t0) и конечным x(t1) состояниями и, возможно, моментами начала и окончания управления t0 и t1. В зависимости от физического смысла задачи интегральная или терминальная часть критерия может быть равна нулю.

На процесс функционирования системы могут накладываться дополнительные ограничения в форме краевых условий:

задающие множества допустимых начальных и конечных состояний системы и моментов начала и окончания управления.

Важным частным случаем (2.3) являются условия вида:

соответствующие закрепленному левому или правому концу фазовой траектории.

Моменты времени начала и окончания управления, t0 и t1, могут полагаться как известными, тогда говорят о задаче с фиксированным временем управления, или неизвестными (задача с нефиксированным моментом начала или окончания управления).

Необходимые условия оптимальности в данной задаче, точнее, необходимые условия сильного локального максимума даются принципом максимума Понтрягина.

Т е о р е м а. Пусть (x*(t), u*(t), t0*, t1*) – оптимальный процесс в задаче (2.1) – (2.3). Тогда найдутся одновременно не равные нулю множители и : = (0, …, m) Rm+1, 0 0 и (t) = (1(t), …, n(t)) Rn, такие, что выполнены следующие условия:

а). Функция Понтрягина задачи при каждом t[t0, t1] достигает максимума по u в т. u*(t), когда x = x*(t), =(t).

дифференциальных уравнений:

с краевыми условиями (условия трансверсальности) в). Выполнены условия на подвижные концы:

Замечания.

1. Множитель Лагранжа 0 определяет чувствительность оптимального решения задачи к виду интегральной части функционала. В вырожденном случае совокупность ограничений задачи такова, что оптимальное управление u*(t) не зависит от вида интегранта F(t, x(t), u(t)). При этом из условий принципа максимума следует, что 0 = 0. В невырожденном случае 0 0, поэтому ее можно положить равной 1 (разделив функцию Н на 0). При этом условия принципа максимума не изменятся.

Как правило, из физического смысла задачи понятно, допускаются ли в ней вырожденные решения. При исследовании таких решений необходимо обращать внимание на выполнение условия теоремы о том, что множители и (t) не могут одновременно быть равными 0.

2. Для задачи с закрепленными концами (2.4) сопряженная функция (t) имеет свободные концы, т.е. соответствующие условия трансверсальности отсутствуют.

Обратно, для задачи со свободными концами, не содержащей ограничений (2.3), сопряженная функция имеет закрепленные концы, определяемые соотношениями:

Примеры 1. Найти оптимальное управление в задаче:

Р е ш е н и е. Перепишем данную ее в виде задачи на максимум и воспользуемся теоремой о необходимых условиях.

Функция Понтрягина (рис. 2.1):

Сопряженная система:

Условие трансверсальности:

(т.к. правый конец фазовой траектории свободен).

Исследуем вырожденный случай:

положим 0 = 0.

Тогда 0, откуда следует, что = const. Но из условия трансверРис. 2. сальности следует, что 0. Таким образом получили, что множители 0 и одновременно равны 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно, вырожденных решений задача не имеет.

Положим 0 = 1. Тогда:

H является квадратичной отрицательно определенной функцией u.

Вершина параболы отыскивается из условия экстремума I порядка:

Если она лежит внутри отрезка изменения управления [–1, 1], то она и является точкой максимума. В противном случае максимум Н достигается на правой либо левой границе отрезка (см. рис. 2.1).

Таким образом, получаем:



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
 



Похожие работы:

«Кафедра социологии и социальной работы Учебно-методический комплекс по дисциплине ОСНОВЫ СОЦИАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВА И ГРАЖДАНСКОГО ОБЩЕСТВА Направление 040400.62 Социальная работа Санкт-Петербург 2011 Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры от 16 июня 2011 г., протокол № 10. Одобрено на заседании учебно-методического совета СЗАГС. Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом СЗАГС. Учебно-методический комплекс подготовила: к. педагог. н., доц. И. С. Орлова. Рецензент: д. полит....»

«Европейская экономическая комиссия Комитет по экологической политике Восемнадцатая сессия Женева, 1720 апреля 2012 года Пункты 4 и 6 предварительной повестки дня Последующие меры после Конференции министров в Астане и подготовка среднесрочного обзора Окружающая среда для Европы Мониторинг, оценка и представление данных по окружающей среде 30 марта 2012 Проект концепции создания регулярного процесса оценки и отчетности, поддержанного поэтапным формированием Совместной системы экологической...»

«Авторы: Л. Ф. Крупская — канд. экон. наук, профессор Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина; И. Е. Тимченко — канд. экон. наук, доцент и зав. кафедры финансов и кре­ дита Харьковского экономико-правового университета; Т. И. Черная — доцент кафедры экономики, предпринимательской и обра­ зовательной деятельности Украинской инженерно-педагогической академии Научную экспертизу проводил Институт экономики и прогнозирования НАН Украины Психолого-педагогическую экспертизу проводил...»

«Конкуренция и органы судебной власти 2 этап исследования 6 Ежегодная конференция МКС Москва, Россия Май-июнь, 2007. Ведомства, которые принимали участие во втором этапе данного исследования: - Бразильский Совет по защите экономики (КАДЕ) - Трибунал по конкуренции Канады - Трибунал по защите свободной конкуренции Чили - Конкурентное ведомство Сальвадора - Федеральная конкурентная комиссия Мексики - Конкурентный суд Испании - Конкурентное ведомство Турции. Подгруппа особо благодарит за помощь в...»

«Под науч. ред. Т.М. Малевой, О.В. Синявской Москва НИСП 2007 УДК 314 ББК (С)60.7 М 18 Научные редакторы: к.э.н. Т.М. Малева, к.э.н. О.В. Синявская Родители и дети, мужчины и женщины в семье и обществе / Под науч. ред. Т.М. Малевой, О.В. Синявской; Независимый институт социальной политики. — М.: НИСП, 2007. — 640 с. Сборник посвящен результатам первой волны уникального социально-демографического обследования Родители и дети, мужчины и женщины в семье и обществ (РиДМиЖ), которое является частью...»

«А.Г. ЗЛОТНИКОВ, КАНДИДАТ ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ (ГОМЕЛЬ) ДЕМОГРАФИЧЕСКАЯ НАУКА СОВРЕМЕННОЙ БЕЛАРУСИ Рассматриваются направления дальней- The guidelines of further development of шего развития белорусской демографии во Belarusian demography related to the developвзаимосвязи с развитием социологической ment of sociology in Belarus are considered. The науки в Беларуси. Прослеживается обуслов- determination of sociological-demographic reленность социолого-демографических иссле- searches by new...»

«Эстония – Латвия – Россия Программа приграничного сотрудничества в рамках Европейского инструмента соседства и партнёрства 2007-2013 гг. 1 Неофициальный перевод Эстония – Латвия – Россия. Программа приграничного сотрудничества ЕИСП 2007 – 2013 г.г. СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ. КРАТКИЙ ОБЗОР И ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА СОЗДАНИЯ ПРОГРАММЫ 1. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ТЕРРИТОРИИ ПРОГРАММЫ 1.1 Территория и население 1.2 Демография 1.3 Транспорт и инфраструктура 1.4 Региональная экономика 1.5 Рынок труда 1.6...»

«Кафедра экономики и управления УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой экономики и управления Федяева И. Ю. Подпись 28 августа 2010 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины Основы менеджмента для специальности: 080507.65 Менеджмент организации Кирово-Чепецк 2010 Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ГОС высшего профессионального образования по специальности 080507.65 Менеджмент организации утвержденным заместителем Министра образования и науки Российской Федерации В.Д. Шадриковым...»

«Контакты владельца Rob Goffee Gareth Jones WHY SHOULD ANYONE BE LED BY YOU? What It Takes to Be an Authentic Leader Harvard Business School Press Boston, Massachusetts www.sserussia.org Роб Гоффи Гэрет Джонс ПОЧЕМУ ЛЮДИ ДОЛЖНЫ СЛЕДОВАТЬ ЗА ВАМИ? Книга о том, что значит быть истинным лидером Перевод с английского Издательство Манн, Иванов и Фербер Москва, 2008 УДК 658.3+331.108.2 ББК 65.290-2 Г74 Серия Книги Стокгольмской школы экономики Основана в 2000 году Издано c разрешения издательства...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.