WWW.KNIGI.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |

«В. А. Попов М. Х. Бренерман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Издательство Казанского государственного университета 2008 УДК ...»

-- [ Страница 1 ] --

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В. А. Попов

М. Х. Бренерман

РУКОВОДСТВО

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ

Издательство Казанского государственного университета 2008 УДК 519.21 ББК 22.171я73 Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета КГУ Рецензент доцент кафедры математической статистики КГУ к.ф.-м.н. О.Е.Тихонов Попов В. А., Бренерман М. Х. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — Казань: Издательство КГУ, 2008. — 119 с. — Табл. 6. Ил. 33. Библиогр. 9 назв.

Руководство содержит задачи для практических занятий и самостоятельной работы студентов по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Предназначено для студентов физического факультета, обучающихся по специальностям „Физика“, „Радиофизика“, „Астрономия“, „Астрономо-геодезия“, „Комплесксное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем“.

©Казанский государственный университет, ©Попов В. А., Бренерман М. Х., Предисловие В современной системе высшего образования большое внимание уделяется самостоятельной работе студентов. При этом студент должен не только научиться решать типовые задачи по изучаемой дисциплине, но и применять полученные навыки при решении задач в рамках своей специальности.

В книге собрано более 200 задач к курсу «Теория вероятности и математическая статистика», читаемому на физическом факультете Казанского университета. Ее основу составили задачи из различных сборников [3] – [6], которые регулярно используются при ведении практических занятий. Здесь собраны задачи разной степени сложности, от самых простых, предназначенных для приобретения навыков применения готовых формул и теорем, до более сложных, решение которых требует некоторой изобретательности. Это позволяет использовать пособие в качестве базового задачника для проведения практических занятий.

Большое количество задач приведено вместе с решениями. Это, в первую очередь, задачи с наиболее общими или стандартными схемами решения. Ко многим задачам даны указания, в которых студент может найти подсказку в том случае, если решение не удается найти самостоятельно. Если указание отсутствует, то это означает, что решение достаточно очевидно, либо методы решения подробно разобраны в примерах, либо похожая подсказка содержится в предыдущих задачах. Кроме того, каждый параграф снабжен сводкой основных понятий, формул и теорем, необходимых для успешного освоения данного раздела. Это дает возможность использовать пособие как для самостоятельной работы во время семестра, так и для «срочной» подготовки к экзамену или зачету.

Часть задач из раздела «Математическая статистика» рекомендуется решать с помощью электронных таблиц «Excel», пакетов «Maple», «Mathematica», «Mathсad» и др. Это сэкономит время и поможет избежать ошибок при, хоть и несложных, но объемных вычислениях.

Теория вероятностей § 1. События Мы вводим базовые понятия теории вероятностей на эвристическом уровне1). Будем рассматривать некий объект (явление), который характеризуется набором своих состояний. Над объектом производится эксперимент (опыт, испытание, измерение) с целью получения информации о его состоянии. Рассматриваются только такие эксперименты, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз, в одних и тех же условиях, и результат любого эксперимента невозможно однозначно предсказать.

Событием A (случайным событием, исходом) будем называть состояние объекта, полученное в результате однократного проведения эксперимента.

Элементарным событием будем называть простейший, неделимый в рамках данного опыта, исход. Появление одного элементарного события исключает наступление любого другого. Все возможные элементарные события образуют множество элементарных событий.

Любое событие A рассматривается как некоторое подмножество из :

A.

Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно должно произойти. Невозможным называется событие (обозначается ), которое в результате опыта не может произойти.

Два события A и B называются совместными, если они могут появиться в результате одного эксперимента. Два события A и B называются несовместными, если наступление одного исключает наступление другого.

События называются равновозможными, если по условиям эксИнтересующихся формальным математическим построением теории вероятностей отсылаем, например, к книге [9] § 1. События перимента нет оснований считать какое-либо более возможным, чем другое.

События A и B называются зависимыми, если наступление одного из них делает возможным наступление другого.

Рис. 1.

Суммой (объединением) событий A и B (обозначается A + B или A B) называется событие, состоящее из исходов, входящих в A или B. Другими словами, должно иметь место хотя бы одно из событий A или B.

Произведением (пересечением) событий A и B (обозначается AB или A B) называется событие, состоящее из исходов, одновременно входящих в A и B. Другими словами, события A и B появляются совместно.

Разностью событий A и B (обозначается AB или A\B) называется событие, состоящее из исходов, входящих в A, но не входящих в B.



Противоположным событием (дополнением) к событию A (обозначается A) называется событие, наступающее всякий раз, когда не происходит событие A. Очевидно, что A = A, и события A и A несовместны.

События Bi образуют полную группу несовместных событий (или, короче, полную группу), если 1) Bi B j = для любых i = j;

Алгеброй событий A называется совокупность событий A, таких, что 1) и A, 2) для любых событий A, B A, операции суммы, разности и произведения снова дают событие из A.

Проиллюстрировать базовые понятия можно следующими примерами:

объект — игральная кость, опыт — бросание кости, элементарное событие — выпадение «1», «2»,... «6», событие — выпадение четного числа очков, достоверное событие — выпадение какого-либо числа очков, невозможное событие — выпадение «0» и т. д.

Задача 1. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Ai = {попадание при i-м выстреле}, (i = 1, 2, 3). Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий Ai и Ai следующие события : B ={все три попадания }; C ={все три промаха }; D ={хотя бы одно попадание }; E ={не меньше двух попаданий };

F ={попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле }.

Решение. Любое событие, включающее три выстрела, можно представить в виде произведения событий Ai и Ai. Некоторые события могут произойти только одним способом. Например, событие B = A1 A2 A3, а событие C = A1 A2 A3. Другие события могут реализоваться несколькими путями. Так, для события D благоприятными будут события, когда стрелок попадает первым выстрелом, а остальными промахивается; попадает первым и третьим, а вторым промахивается и т. д. Событие D будет представлять собой сумму таких благоприятных исходов:

Для того чтобы записать событие E, надо из события D убрать три первых слагаемых, так как они описывают только одно попадание из трех.

Чтобы произошло событие F, первые два выстрела должны быть промахами, а результат третьего выстрела не важен. Поэтому F = A1 A2.

Заметим, что событие D таким образом может быть записано гораздо короче. Поскольку при i-м попадании результаты остальных выстрелов не важны, то D = A1 + A2 + A3.

Задача 2. Три письма раскладываются случайно по трем конвертам с адресами. Записать событие A, заключающееся в том, что хотя бы одно письмо попадет в свой конверт.

Решение. Пусть событие Bi ={i-е письмо попадает в свой конверт}. Тогда благоприятный исход может реализоваться несколькими взаимоисключающими способами. Например, первое письмо попадает ляются события B 1 B2 B 3, B 1 B 2 B3, а также B1 B2 B3. Искомое событие является суммой всех вышеперечисленных несовместных событий:

Другой, более короткий вариант:

Задача 3. В цепь включены четыре элемента, как показано на рис. 2. Во время работы может произойти отказ любого из элементов.

Записать событие A ={цепь исправна } через такие же события для каждого элемента.

Решение. Цепь будет работать, если работает элемент 1 и хотя бы один из элементов 2, 3 или 4. Обозначим события Bi ={i-й элемент исправен}. Тогда A = B1 B2 + B1 B3 + B1 B4.

Задачи для самостоятельного решения Задача 4. Пусть A, B и C — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что а) произошло только событие A; б) произошли A и B, C не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из событий; д) произошло одно и только одно событие.

Задача 5. В цепь включены пять элементов, как показано на рис. 3, каждый из которых может отказать во время работы. Рассматриваются события, заключающиеся в том, что i-й элемент отказал. Записать событие A ={цепь не работает}.

Задача 6. В ящике лежит большое количество ключей, среди которых находится нужный. Рассматриваются события Ai ={Нужный ключ обнаружился при i-й попытке. Записать событие B ={Для поиска нужного ключа понадобилось не более трех попыток}.

Задача 7. Рассматриваются события A1 ={выигрыш по билету одной лотереи} и A2 ={выигрыш по билету другой лотереи}. Что означают события:

Задача 8. Известно, что события A и B произошли, а событие C не произошло. Произошли или не произошли следующие события:

A + BC; (A + B)C; AB + C; ABC?

Задача 9. Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие Ai (i = 1, 2,..., n) заключается в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) только одна деталь имеет дефект; в) по крайней мере одна деталь имеет дефект; г) не более одной детали имеет дефект.

§ 2. Элементы комбинаторики При решении задач часто необходимо подсчитать число элементарных событий, составляющих благоприятный исход. Будем рассматривать только конечные множества, из которых по тем или иным правилам выбирается какой-либо набор элементов.

Пусть каждая такая выборка может содержать только различные элементы множества.

Размещение есть упорядоченная выборка m элементов из n возможных. Число возможных размещений можно вычислить следующим образом: первый элемент может быть выбран n способами, второй — n1 способом, третий — n2 способами и т. д. В результате Перестановка — это частный случай размещения, когда в выборку входят все элементы множества, то есть m = n:

Сочетание есть неупорядоченная выборка m элементов из n возможных. Число сочетаний можно получить, если число размещений Am n разделить на число возможных перестановок внутри каждого размещения Pm :

Например, выбирая два из трех элементов a, b, c, мы получаем шесть размещений: ab, ac, ba, bc, ca, cb — и три сочетания: ab, ac, bc.

Если в выборке элементы могут повторяться, то различают следующие типы выборок.

Размещение с повторениями есть упорядоченная выборка m элементов из n возможных, в которой каждый элемент может встречаться более одного раза. При этом может быть, что m n. Каждый элемент выборки может быть выбран n способами, поэтому число таких размещений есть Перестановки с повторениями. Имеются элементы m различных сортов, причем элементов 1-го сорта n1 штук, 2-го — n2 штук и т. д., так что n1 + n2 +... + nm = n. Внутри каждого сорта элементы неразличимы. Число различных перестановок получится, если учесть, что в каждой перестановке нам не важен внутренний порядок элементов каждого сорта:



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |
 



Похожие работы:

«8 800 775 98 98 ОснОвные ОсОбеннОсти Чтение текстов 5” цветной ЖК экран FM трансмиттер для воспроизведения Разрешение экрана: 800х480 пикселей звука через радиоприёмник Сенсорный экран с антибликовым покрытием Встроенный Li-i аккумулятор Процессор Telechips TCC 9101 (до 800 МГц) Время работы в режиме навигации до 3,5 ч Цифровой телевизионный тюнер Карта памяти: microSD (до 8 ГБ) DVB-T (MPEG 4/H.264) Возможность подсоединения к Программная среда - Windows CE 6.0 компьютеру: Mini USB порт версия...»

«Вестник нормативной документации рекламный 2013 В данный рекламный выпуск Вестника вошли нормативные документы межотраслевого применения, изданные в 2013 году Содержание Вышли из печати Организация и управление производством. Качество. 3 Строительство Эксплуатация опасных производственных объектов. 11 Эксплуатация электрических и тепловых установок и сетей Охрана труда и здоровья Пожарная безопасность Санитария Охрана окружающей среды Метрология и измерения Транспорт. Размещение грузов Заказ...»

«VI СЪЕЗД ПО РАДИАЦИОННЫМ ИССЛЕДОВАНИЯМ (радиобиология, радиоэкология, радиационная безопасность) ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ ТОМ I (секции I–VII) Москва 25–28 октября 2010 года ББК 20.18 Р 15 ОРГАНИЗАЦИЯ-СПОНСОР Российский фонд фундаментальных исследований ОРГАНИЗАТОРЫ СЪЕЗДА: Институт биохимической физики им. Н.М. Эмануэля РАН, Институт биоорганической химии им. М.М. Шемякина и Ю.А. Овчинникова РАН, Институт биохимии им. А.Н. Баха РАН, Институт общей генетики им. Н.И. Вавилова РАН, Институт проблем...»

«CE Models Руководство оператора Четвертое издание • Второй выпуск Важно Прочитайте, поймите правила техники безопасности и инструкции по эксплуатации перед началом эксплуатации машины и соблюдайте их. К эксплуатации машины допускается только специально обученный персонал с должными разрешениями. Это руководство считается неотъемлемой частью комплектации машины и постоянно должно находиться на машине. При возникновении вопросов позвоните в Genie Industries. Содержание Страница Правила техники...»

«Panaboard Стойка является дополнительной принадлежностью. • Для сборки этого аппарата обращайтесь к руководству по установке на стр. 83-99. • Перед эксплуатацией этого аппарата прочитайте, пожалуйста, эту инструкцию полностью и аккуратно сохраняйте ее для справок в будущем. • Из-за природы печатающей пленки весь напечатанный текст останется на пленке. • Конструкция этого устройства предполагает установку квалифицированным техником по обслуживанию. Выполнение установки неавторизованными лицами...»

«Руководство по эксплуатации и каталог запасных частей 1 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Дорогие друзья! Благодарим Вас, за то, что Вы остановили свой выбор на технике, производимой под торговой маркой KLEVER. Надеемся, что и для Вас, как уже для многих приверженцев данной торговой марки, KLEVER станет полноценным другом и помощником в Вашей работе. В данной брошюре содержится полная информация, необходимая для обеспечения безопасности персонала, надлежащего...»

«Россинская Е.Р., Галяшина Е.И. Настольная книга судьи: судебная экспертиза. - Проспект, 2010 г. Содержание: Глава I. Теоретические аспекты экспертной деятельности 1.1. Сущность, задачи и объекты судебной экспертизы 1.2. Задачи судебной экспертизы 1.3. Объекты судебной экспертизы Глава II. Судебно-экспертные учреждения 2.1. Судебно-экспертная деятельность, понятие, правовые основы 2.2. Государственные судебно-экспертные учреждения, их виды, полномочия руководителя Система и функции...»

«Транснациональные исламистские сети Имтиаз Гуль Имтиаз Гуль, исполнительный директор Центра исследований и изучения вопросов безопасности в Исламабаде, более 20 лет пишет о проблемах безопасности и терроризма в Южной и Центральной Азии. Краткое содержание События, последовавшие после нападения террористов на Соединенные Штаты 11 сентября, не только вызвали всплеск террористической деятельности, но и бросили миру новый вызов: появились транснациональные исламистские сети, находящиеся под...»

«Опыт ОбщественнОгО участия в реализации экОлОгическОй пОлитики в региОнах рОссии Ответственные редакторы В.М. Захаров, С.Г. Дмитриев Москва 2008 УДК 504; 574 ББК 20.1 О 62 При реализации проекта используются средства государственной поддержки, выделенные в качестве гранта в соответствии с распоряжением Президента Российской Федерации от 30 июня 2007 года №367-рп О 62 Опыт общественного участия в реализации экологической политики в регионах России / Под. ред. В.М. Захарова, С.Г. Дмитриева. — М.:...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН ОБ ОБРАЩЕНИИ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ Принят Государственной Думой 24 марта 2010 года Одобрен Советом Федерации 31 марта 2010 года (в ред. Федеральных законов от 27.07.2010 N 192-ФЗ, от 11.10.2010 N 271-ФЗ, от 29.11.2010 N 313-ФЗ, от 06.12.2011 N 409-ФЗ, от 25.06.2012 N 93-ФЗ, от 25.12.2012 N 262-ФЗ) Глава 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Статья 1. Предмет регулирования настоящего Федерального закона 1. Настоящий Федеральный закон регулирует отношения, возникающие в связи...»






 
© 2013 www.knigi.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.